Kako iz \(v,t\) grafa određujemo akceleraciju?

Iz \(v,t\) grafa akceleraciju odredimo kao nagib pravca: \[a=\frac{\Delta v}{\Delta t}.\] Iz priloženih grafova vidimo da najveći nagib odgovara pravcu na grafu D.
Akceleracija je jednaka \[a=\frac{\Delta v}{\Delta t}=0,75\,\textrm{m}/\textrm{s}^{2}\]

Pomoć potražite na poveznicama

• Jednoliko pravocrtno gibanje.
• Jednoliko ubrzano pravocrtno gibanje.

Prijeđeni put za vrijeme jednoliko ubrzanog gibanja jednak je: \[s_{1}\ =\frac{v\,t}{2}=100\,\textrm{m}\] Za vrijeme jednolikog gibanja automobil prijeđe put: \[s_{2}=v\,t=200\,\textrm{m}\] Ukupni prijeđeni put jednak je: \(s_{1}+s_{2}=300\,\textrm{m}\). Srednja brzina jednaka je: \[\overline{v}=\frac{s_{1}+s_{2}}{t}=\frac{300}{20}=15\,\textrm{m}/\textrm{s}\]

Trenje je zanemareno. Primijenite prvi Newtonov zakon.

Budući da je trenje zanemareno, nakon što se nit prekine na tijelo ne djeluje niti jedna sila i ono se, na osnovu prvog Newtonovog zakona, nastavlja gibati jednoliko po pravcu.

Primijenite zakon očuvanja mehaničke energije.

Početna energija je u obliku potencijalne energije: \[E_{1}=m\,g\,h\] U trenutku pada na tlo tijelo ima kinetičku energiju: \[E_{2}=m\,v^{2}/2\] Kada bi sustav bio zatvoren, te bi dvije energije bile bi jednake. Zakon očuvanja energije možemo zapisati kao: \[E_1\ =E_2\ +\Delta E\] \(\Delta E\) je dio mehaničke energije koji se pretvorio u druge oblike: \[\Delta E=E_{1}–E_{2}=m\,g\,h-m\,v^{2}/2\]

Pomoć potražite na poveznici Horizontalni hitac.

Ako primijenimo princip neovisnosti gibanja, zaključit ćemo da je put u vertikalnom smjeru (slobodni pad) jednak: \[h=g\,t^{2}/2\] Vrijeme za koje tijelo padne na tlo: \[t=\sqrt{\frac{2\,h}{g}}\qquad(1)\] Put u horizontalnom smjeru (jednoliko gibanje) jednak je: \[D=v_{0}\,t\qquad(2)\] Iz izraza (1) zaključujemo da će oba tijela jednako dugo padati (oba tijela padaju s jednake visine), a iz izraza (2) zaključujemo da će domet prvog tijela biti veći jer je domet proporcionalan početnoj brzini, a iz crteža je vidljivo da je početna brzina prvog tijela veća. Točan odgovor je D.

Pomoć potražite na poveznici Izohorna promjena stanja plina.

Jednadžbu stanja idealnog plina možemo zapisati kao: \[\frac{p\,V}{T}=\frac{p_{0}\,V_{0}}{T_{0}}\] Za izohorne procese volumen plina je konstantan \(\left (V=V_{0}\right )\) pa jednadžbu stanja plina prikazujemo kao: \[\frac{p}{T}=\frac{p_{0}}{T_{0}}\] Za tlak plina dobijemo: \[p=\frac{p_{0}\,T}{T_{0}}\] Nakon što temperature pretvorimo u kelvine, dobijemo: \[p=2\,p_{0}\]

Količina topline koju tijelo zagrijavanjem primi ili hlađenjem preda jednaka je: \[Q=m\,c\,\Delta t\]

Tijela su primila topline: \[Q_{1}=m\,c_{1}\,\Delta t\] \[Q_{2}=m\,c_{2}\,\Delta t=m\,c_{1}\,\Delta t/2\] \[Q_{3}=m\,c_{3}\,\Delta t=m\,c_{1}\,\Delta t/3\] Promjena temperature sva tri tijela jednaka je jer su ona i dalje u termičkom kontaktu pa su poprimila jednake konačne temperature. Poznato je da je drugo tijelo primilo toplinu \(3\,Q\): \[m\,c_{1}\,\Delta t/2=3\,Q\] Iz ove jednadžbe odredimo \(m\,\Delta t\): \[m\,\Delta t=6\,Q/c_{1}\] Uvrstimo to u prvu i treću jednadžbu, pa dolazimo do rješenja: \[Q_{1}=6\,Q\,c_{1}/c_{1}=6\,Q\] \[Q_{3}=6\,Q\,c_{1}/3\,c_{1}=2\,Q\]

Toplina koju tijelo zagrijavanjem prima ili hlađenjem predaje jednaka je: \[Q=m\,c\,\Delta t\] Ako je sustav izoliran, toplina je očuvana, a to znači da je toplina koju predaje toplije tijelo jednaka toplini koju hladnije tijelo primi.

Temperatura toplinske ravnoteže bit će između \(40\,^{0}\textrm{C}\) i \(40\,^{0}\textrm{C}\). Tu temperaturu označimo s \(t_{\textrm{kon}}\). Toplija voda preda toplinu: \[Q_{1}=m_{1}\,c\,\left(t_{1}\ -t_{\textrm{kon}}\right)\] Hladnija voda primi toplinu: \[Q_{2}=m_{2}\,c\,\left (t_{\textrm{kon}}–t_{2}\right )\] Te dvije topline moraju biti jednake: \[m_{1}\,c\,\left(t_{1}-t_{\textrm{kon}}\right)=m_{2}\,c\,\left (t_{\textrm{kon}}–t_{2}\right )\] Podijelimo cijelu jednadžbu s \(c\), riješimo se zagrada i uvrstimo zadane podatke: \[0,4·80-0,4·t_{\textrm{kon}}=1,6·t_{\textrm{kon}}-1,6·40\] Za rješenje ove jednadžbe dobijemo: \[t_{\textrm{kon}}=48\,^{0}\textrm{C}\]

Što se događa s elektronima ako prvoj kugli primaknemo negativno nabijeni štap? Uzmite u obzir da se kugle dodiruju.

Atom helija ima dva elektrona i dva protona u jezgri. Prema tome, električni naboj atoma jednak je nuli, a naboj jezgre jednak je naboju dva protona, odnosno, +2 e.

Primijenite Coulombov zakon: \[F=k\frac{Q_{1}Q_{2}}{r^{2}}\] Više o električnoj sili između dva točkasta naboja možete saznati na poveznici Električna sila.

Električne sile kojima elektroni djeluju na elektron u gornjem vrhu trokuta označene su crno obojenim vektorima. Ukupnu silu možemo odrediti pomoću pravila paralelograma, i ona je označena crveno obojenim vektorom.

Rad, odnosno energiju električne struje možemo prikazati kao: \[W=UIt\]

Žarulje i otpornik spojeni su serijski. Povećanjem otpora Rx povećava se ukupni otpor kruga. Na osnovu Ohmovog zakona zaključujemo da će se struja kroz žarulje smanjiti, pa će one svijetliti slabije.

Pomoć potražite na poveznici Gibanje naboja u magnetskom polju.

Sila koja djeluje na elektron može se prikazati kao \(F=e\,v\,B\) i uvijek mora biti okomita na vektore \(\vec{v}\) i \(\vec{B}\). To je moguće samo ako je putanja kružnica.

Elektron se giba jednoliko po kružnici pa se iznos brzine ne mijenja. Mijenjaju se samo pravac (smjer) i orijentacija brzine.

Pomoć potražite na poveznici Titranje matematičkog njihala.

Silu koja uzrokuje gibanje matematičkog ili jednostavnog njihala možemo prikazati kao \[F=k\,x\] Elongacija njihala mijenja se kao \[x=x_{0}\,\textrm{cos}\,\omega\,t\] jer tijelo u početnom trenutku ima maksimalnu elongaciju \(x_{0}\). Kružna frekvencija označena je s \(\omega\). Silu možemo prikazati kao \[F=k\,x_{0}\,\textrm{cos}\,\omega\,t\] što odgovara grafu na crtežu B jer sila u početnom trenutku ima maksimalnu vrijednost \[F=F_{0}\,\textrm{cos}\,\omega\,t\]

Pomoć potražite na poveznici Ravno zrcalo.

Ravno zrcalo daje virtualnu i uspravnu sliku koja je jednako visoka kao i predmet.

Ako se elongacija kod harmonijskog titranja mijenja kao: \[y=y_{0}\,\textrm{sin}\,\omega\, t\] onda se brzina mijenja kao: \[v=v_{0}\,\textrm{cos}\,\omega\, t\] Više o nastanku vala na užetu potražite na poveznici Nastanak transverzalnog vala.

Radiosignal se u vakuumu širi brzinom svjetlosti 3·108 m/s pa je vrijeme potrebno da signal prijeđe udaljenost od 250 m jednako: \[t=\frac{s}{c}=8,3\cdot 10^{-7}\,\textrm{s}\]

Pomoć potražite na poveznici Youngov pokus.

Udaljenost k-te svijetle pruge od središta zastora je: \[y_{\textrm{k}}=\frac{k\,\lambda\,a}{d}\] Udaljenost između dvije susjedne svijetle pruge je: \[s=y_{\textrm{k}+1}-y_\textrm{k}=\frac{\lambda\,a}{d}\] Razmak između pruga možemo povećati ako:

• Povećamo valnu duljinu svjetlosti
• Povećamo razmak između pukotina i zastora
• Smanjimo udaljenost između pukotina

Pomoć potražite na poveznici Pretvorbe energije pri harmonijskom titranju.

U ravnotežnom položaju potencijalna energija jednaka je nuli pa je ukupna energija jednaka kinetičkoj energiji, koja je tada maksimalna: \[E_{1}=E_{\textrm{k,maks}}\] U krajnjem položaju kinetička energija jednaka je nuli jer tijelo zastane pa je ukupna energija jednaka potencijalnoj, koja je tada najveća: \[E_{2}=E_{\textrm{p,maks}}\] Prema zakonu očuvanja energije te su dvije energije jednake: \[E_{1}=E_{2}\] \[E_{\textrm{p,maks}}=E_{\textrm{k,maks}}\] Maksimalna potencijalna energija jednaka je: \[E_{\textrm{p,maks}}=\frac{1}{2}\,k\,x_{0}^{2}\] Ako ovaj izraz izjednačimo s kinetičkom energijom u ravnotežnom položaju, za amplitudu titranja dobijemo: \[x_{0}=\sqrt{\frac{2\,E_{\textrm{k,maks}}}{k}}=5\,\textrm{cm}\]

Pomoć potražite na poveznici Kontrakcija duljine.

Dimenzije tijela u smjeru gibanja se skraćuju za faktor \[\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}\] Ovo nazivamo kontrakcijom (skraćenjem) duljine. Skratit će se polumjer okna u smjeru gibanja tako da će za promatrača na Zemlji on iznositi: \[L=L_{0}\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}=0,4\,\textrm{m}\] Polumjer koji je okomit na smjer gibanja neće se skratiti.

Pomoć potražite na poveznici Wienov zakon.

Prema Wienovom zakonu, valna duljina pri kojoj crno tijelo zrači najviše energije obrnuto je proporcionalna apsolutnoj temperaturi tijela koje zrači: \[\lambda_\textrm{maks}\cdot T= b\] gdje je \(b\) Wienova konstanta. Napišimo ovaj zakon za oba tijela: \[\lambda_\textrm{maks,1}\cdot T_{1}= b\] \[\lambda_\textrm{maks,2}\cdot T_{2}= b\] Budući da su desne strane ovih jednadžbi jednake, moraju biti i lijeve strane pa za temperaturu drugog tijela dobijemo: \[T_{2}=\frac{\lambda_\textrm{maks,1}\cdot T_{1}}{\lambda_\textrm{maks,2}}=9000\,\textrm{K}\]

Pomoć potražite na poveznici Zbrajanje brzina.

Brzina svjetlosti u svim inercijskim sustavima je konstantna. Laserski signal također se giba brzinom svjetlosti pa je njegova brzina jednaka i za putnika u brodu i za promatrača na Zemlji.

Više o zakonu radioaktivnog raspada možete saznati na poveznici Zakon radioaktivnog raspada

U zapisu jezgre nekog kemijskog elementa \[_Z^{A}\,\textrm{X}\] \(A\) označava broj nukleona u jezgri \(\left(A=Z+N;\textrm{broj protona i neutrona}\right)\). Prema tome, u jezgri ima 17 nukleona i to 8 protona i 9 neutrona.

Više o složenom gibanju i hicima možete saznati na poveznici Složena gibanja - hici. Podignite tijelo na neku visinu, vektor brzine postavite horizontalno i pokrenite animaciju. Zabilježite koliko je vremena tijelo padalo. Vratite animaciju na početak i pomoću klizača postavite brzinu na nulu (slobodni pad). Pokrenite annimaciju i zabilježite potrbno vrijeme. Što zaključujete?

Sila kojom ruka udari stol po iznosu je jednaka sili kojom stol djeluje na ruku. (Treći Newtonov zakon.) Obje sile imaju jednak smjer (leže na istom pravcu) i imaju suprotnu orijentaciju.

Pomoć potražite na poveznici Induktivni otpor.

Induktivni otpor ovisi o induktivitetu zavojnice, \(L\), i kružnoj frekvenciji, \(\omega=2\,\pi\,f\), a može se prikazati kao: \[R_{\small{\textrm{L}}}=L\,\omega=2\,\pi\,f\,L\]
Iz crteža vidimo da za istu frekvenciju zavojnici 2 odgovara veći induktivni otpor pa je zbog toga njezin induktivitet veći.

Pomoć potražite na poveznici Radioaktivnost

Alfa zračenje prikazujemo jednadžbom: \[_{Z}^{A}\textrm{X}\rightarrow _{2}^{4}\textrm{He}+\,_{Z-2}^{A-4}\textrm{Y}\] Beta zračenje prikazujemo jednadžbom: \[_{Z}^{A}\textrm{X}\rightarrow _{-1}^{\;\;0}\textrm{e}+\,_{Z+1}^{\;\;\;A}\textrm{Y}\] Gama zračenje prikazujemo jednadžbom: \[_{Z}^{A}\,\textrm{X}^{*}\rightarrow \gamma+\,_{Z}^{A}\textrm{X}\] Vidimo da se samo kod gama zračenja ne mijenja \(Z\), dakle ni broj protona u jezgri.

Pomoć potražite na poveznici Jednoliko kružno gibanje.

Brzina tijela koje se giba jednoliko po kružnici: \[v=\frac{2\,r\,\pi}{T}\] Frekvencija je jednaka recipročnoj vrijednosti ophodnog vremena: \[f=\frac{1}{T}\] Iz ove dvije jednadžbe za frekvenciju dobijemo: \[f=\frac{v}{2\,r\,\pi}=152789\,\textrm{Hz}=1,53\cdot 10^{5}\,\textrm{Hz}\]

Pomoć potražite na poveznici Opći zakon gravitacije.

Sila teža: \[F_{\textrm{g}}=G\,\frac{M\,m}{\left(R+h\right)^2}\] Na osnovu drugog Newtonovog zakona silu težu možemo prikazati kao: \[F_{\textrm{g}}=m\,g\Rightarrow g=\frac{F_{\textrm{g}}}{m}\] Akceleracija sile teže jednaka je: \[g=G\,\frac{M}{\left(R+h\right)^2}\] Iz ove jednadžbe dobijemo: \[R+h=\sqrt{G\,\frac{M}{g}}\] Tražena visina je: \[h=\sqrt{G\,\frac{M}{g}}-R=989\,\textrm{m}\]

Pomoć potražite na poveznici Linearno toplinsko širenje čvrstih tijela.

Iz jednadžbe \[\ell=\ell_{0}\,\left(1+\alpha\,\Delta t\right)\] dobijemo: \[\ell_{0}=\frac{\ell}{1+\alpha\,\Delta t}=59,39\,\textrm{m}\]

Pomoć potražite na poveznici Serijski RCL krug.

Impedancija (ukupni otpor u krugu izmjenične struje): \[Z=\frac{U_{0}}{I_{0}}\] Maksimalni napon pročitamo iz zadane jednadžbe: \[U_{0}=220\,\sqrt 2\,\textrm{V}\] Maksimalna struja je zadana: \[I_{0}=2\,\sqrt 2\,\textrm{A}\] Impedancija je jednaka: \[Z=\frac{220\,\sqrt 2}{2\,\sqrt 2}=110\,\Omega\]

Pomoć potražite na poveznici Sabirne i rastresne leće.

Da bi ovo bilo moguće, žarišta obje leće moraju se nalaziti u istoj točki. Iz crteža vidimo da je udaljenost između leća jednaka 15 cm.

Pomoć potražite na poveznici Zakon radioaktivnog raspada.

Broj jezgri koje se raspadnu nakon vremena \(t\) jednak je: \[\Delta N=N_{0}-N=\frac{7}{8}\,N_{0}\] Iz ove jednadžbe dobijemo da je broj neraspadnutih jezgri nakon vremena \(t\) jednak: \[N=\frac{1}{8}\,N_{0}\] Uvrstimo to u zakon radioaktivnog raspada: \[N=N_{0}\,2^{-\frac{t}{T}}\] \[\frac{1}{8}\,N_{0}=N_{0}\,2^{-\frac{t}{T}}\] Podijelimo jednadžbu s \(N_{0}\), a 1/8 prikažimo kao \(2^{-3}\): \[2^{-3}=2^{-\frac{t}{T}}\] Rješenje je: \[t=3\,T=84\,\textrm{dana}\] Zadatak smo mogli riješiti i ovako: nakon vremena \(T\) preostane \(N_{0}/2\) jezgara, nakon \(2\,T\) preostane \(N_{0}/4\) jezgri i nakon \(3\,T\) preostane \(N_{0}/8\) jezgri, što znači da se raspalo \(7\,N_{0}/8\). \[t=3\,T=84\,\textrm{dana}\]

Pomoć potražite na poveznici Sila na uronjeno tijelo-uzgon.

Sila teža usmjerena je vertikalno prema dolje, a uzgon vertikalno prema gore.
Rezultanta sile teže i uzgona jednaka je: \[F=F_{\textrm{g}}-F_\textrm{u}=m_{\textrm{kamen}}\,g-\rho_{\textrm{voda}}\,g\,V_{\textrm{kamen}}\] Volumen kamena izrazimo pomoću njegove mase i gustoće: \[V_{\textrm{kamen}}=\frac{m_{\textrm{kamen}}}{\rho_{\textrm{kamen}}}\] Za rezultantnu silu dobijemo: \[F=m_{\textrm{kamen}}\,g-\rho_{\textrm{voda}}\,g\,\frac{m_{\textrm{kamen}}}{\rho_{\textrm{kamen}}}\] Izlučimo zajednički faktor pa za rezultantnu silu dobijemo: \[F=\left(1-\frac{\rho_{\textrm{voda}}}{\rho_{\textrm{kamen}}}\right)\,m_{\textrm{kamen}}\,g=90\,\textrm{N}\]

Pomoć potražite na poveznici Spajanje otpornika.

Sva su tri otpora jednaka. Označimo ih s \(R_{0}\). \[R_{0}=R_{\textrm{A}}=R_{\textrm{B}}=R_{\textrm{C}}\] Otpori A i B spojeni su paralelno pa njihov otpor dobijemo iz: \[\frac{1}{R_{\textrm{AB}}}=\frac{1}{R_{\textrm{A}}}+\frac{1}{R_{\textrm{B}}}\] \[R_{\textrm{AB}}=\frac{R_{0}}{2}\] Ukupni je otpor jednak: \[R=R_{\textrm{AB}} + R_{\textrm{C}}=\frac{3\,R_{0}}{2}\] Ukupni je napon jednak: \[U=I\,R=\frac{3\,I\,R_{0}}{2}\] Iz posljednje jednadžbe dobijemo: \[I\,R_{0}=\frac{2\,U}{3}=80\,\textrm{V}\] To je napon na krajevima otpora C: \[U_{\textrm{C}}=80\,\textrm{V}\] Napon na krajevima otpora \(R_{\textrm{AB}}\) jednak je: \[U_{\textrm{AB}}\ =I\,R_{\textrm{AB}}=\frac{I\,R_{0}}{2}=40\,\textrm{V}\] Budući da su otpori A i B spojen i paralelno, napon na njihovim krajevima je jednak i iznosi 40 V: \[U_{\textrm{A}}=40\,\textrm{V}\] \[U_{\textrm{B}}=40\,\textrm{V}\]

Pri izobarnom širenju plin obavi rad: \[W=p\,\Delta V\] Primijenite prvi zakon termodinamike.

Pri prijelazu plina iz stanja A u stanje B plin izvrši rad: \[W=p\,\Delta V=p\,\left(V_{2}-V_{1}\right)=3\cdot10^{5}\cdot 4\cdot 10^{-3}=1200\,\textrm{J}\] Prema prvom zakonu termodinamike, toplina dovedena sustavu dijelom se pretvara u unutarnju energije sustava, a dijelom u rad kojeg sustav obavlja: \[Q=\Delta U+W\] Za promjenu unutarnje energije sustava dobijemo: \[\Delta U=Q-W=1800\,\textrm{J}\]

Pomoć potražite na poveznici Ogib svjetlosti na optičkoj rešetki.

Iz jednadžbe za optičku rešetku: \[d\,\textrm{sin}\,\alpha = k\,λ\] za redni broj svijetle pruge, \(k\), dobijemo \[k=\frac{d\,\textrm{sin}\,\alpha}{λ}\] Broj \(k\) će biti najveći ako je \(\alpha=90^{0}\). \[k_{\textrm{maks}}\le\frac{d}{\lambda}\] Odredimo konstantu optičke rešetke: \[d=\frac{1}{400}\,\textrm{mm}=2,5\cdot 10^{-6}\,\textrm{m}\] Izračunajmo najveći k: \[k_{\textrm{maks}}\le\frac{d}{\lambda}=4,17\] Broj \(k\) je cijeli broj pa je njegova najveća vrijednost jednaka 4.

Pomoć potražite na poveznici Stefan-Boltzmannov zakon.

Snaga zračenja Sunca (Stefan-Boltzmannov zakon): \[P=\sigma\,S\,T^{4}\] Energija zračenja Sunca širi se u prostor obuhvaćen površinom sfere polumjera \(r\): \[S=4\,r^{2}\,\pi\] Intenzitet zračenja na udaljenosti \(r\) od Sunca: \[I=\frac{P}{4\,r^{2}\,\pi}\] Ako za snagu zračenja Sunca uvrstimo \(R\) (polumjer Sunca): \[P=\sigma S\,T^{4}=4\,R^{2}\,\pi\,\sigma T^{4}\] za intenzitet na tom mjestu dobijemo: \[I=\frac{\sigma\,R^{2}\,T^{4}}{r^{2}}\] Iz ove jednadžbe možemo odrediti polumjer Sunca: \[R=\frac{r}{T^{2}}\sqrt{\frac{I}{\sigma}}=6,5\cdot 10^{8}\,\textrm{m}\]