Iz \(v,t\) grafa put određujemo kao površinu ispod grafa.

Odredimo putove tako da izračunamo površinu ispod grafa A, B i C.

Graf A \[s_{\small{\textrm{A}}}=\frac{10\,\cdot 10}{2}=50\,\textrm{m}\]

Graf B \[s_{\small{\textrm{B}}}=5\cdot 10=50\,\textrm{m}\]

Graf C \[s_{\small{\textrm{C}}}=\frac{10\,\cdot 10}{2}=50\,\textrm{m}\]

Sva tri puta su jednaka.

Primijenite temeljni zakon gibanja: \[a=\frac{F}{m}\] Tijelo se giba duž istog pravca pa se ne mijenjaju smjer ni orijentacija gibanja.

1. Ako je ukupna sila koja djeluje na tijelo jednaka nuli, akceleraija tijela je \(a=0\) i gibanje je jednoliko.
2. Ako je ukupna sila koja djeluje na tijelo konstantna, akceleraija tijela je \(a=\textrm{konst.}\) i gibanje je jednoliko ubrzano.
3. Ako je ukupna sila koja djeluje na tijelo promjenjiva, akceleraija tijela također je promjenjiva i gibanje je ubrzano, ali s akceleracijom koja se mijenja.

Graf prikazuje silu koja djeluje na tijelo i koja se tijekom vremena smanjuje, no nikada ne postane jednaka nuli.

Akceleracija tijela tijekom vremena se smanjuje, ali nikada ne postane jednaka nuli. To znači da se prirast brzine tijekom vremena smanjuje, ali brzina tijela se stalno povećava.

Primjer

Na slici plavom bojom označen je graf sile koja se tijekom vremena smanjuje, ali nikada ne postane jednaka nuli.
Masa tijela je \(1\,\textrm{kg}\).
Crvenom je bojom označen graf brzine. Iz grafa vidimo da se tijelo cijelo vrijeme giba ubrzano.

Tijelo se giba jednoliko po kružnici polumjera \(r\). U početnom trenutku nalazi se u položaju A, a nakon vremena \(\Delta t\) nađe se u položaju B.

Obodna brzina
Za vrijeme \(\Delta t\) tijelo opiše kružni luk \(\overset{\huge\frown}{\rm{AB}}\) duljine \(\Delta s\). Obodnu brzinu definiramo kao: \[v=\frac{\Delta s}{\Delta t}\] Nakon što tijelo obiđe jedan puni krug duljina kružnog luka jednaka je opsegu kružnice \(\Delta s=2\,r\,\pi\), a interval vremena \(\Delta t\) jednak je ophodnom vremenu \(\Delta t=T\). Obodna brzina jednaka je: \[v=\frac{2\,r\,\pi}{T}\qquad(1)\] Kutna brzina
Za vrijeme \(\Delta t\) polumjer kružnice opiše kut \(\Delta \alpha\). Kutnu brzinu definiramo kao: \[\omega=\frac{\Delta \alpha}{\Delta t}\] Nakon što tijelo obiđe jedan puni krug, polumjer kružnice opiše puni kut \(\Delta \alpha=2\,\pi\,\textrm{rad}\). Kutna brzina jednaka je: \[\omega=\frac{2\,\pi}{T}\qquad(2)\] Usporedbom izraza (1) i (2) dobivamo izraz koji povezuje obodnu i kutnu brzinu: \[v=\omega\,r\]

U izraz za centripetalnu akceleraciju uvrstimo izraz za obodnu brzinu: \[a_{\textrm{cp}}=\frac{v^{2}}{r}\] \[a_{\textrm{cp}}=\frac{\omega^{2}\,r^{2}}{r}\] \[a_{\textrm{cp}}=\omega^{2}\,r\] Ako se kutna brzina poveća tri puta, a polumjer kružnice ostane isti, centripetalna akceleracija poveća se \[3^{2}=9\,\textrm{puta.}\]

Gravitacijska sila kojom Zemlja privlači satelit mase \(m\) udaljen za \(r\) od njezinog središta može se prikazati izrazom: \[F=G\,\frac {M\,m}{r^{2}}\] Masu Zemlje označili smo s \(M\), dok je \(G\) konstanta opće gravitacije.

Koja sila ima ulogu centripetalne sile?

Primijenimo Newtonov zakona gravitacije: \[F=G\,\frac {M\,m}{r^{2}}\] Gravitacijska sila ima ulogu centripetalne sile i zbog nje se satelit giba po kružnici polumjera \(r\) oko Zemlje: \[F_{\textrm{cp}}=\frac{m\,v^{2}}{r}\] \[F_{\textrm{cp}}=F\] \[\frac{m\,v^{2}}{r}=G\,\frac {M\,m}{r^{2}}\] \[v^{2}=G\,\frac {M}{r}\] \[v=\sqrt{G\,\frac {M}{r}}\]

Brzina kojom se satelit giba oko Zemlje ne ovisi o njegovoj masi pa se zbog toga njegova brzina neće promijeniti.

• \(\ell_{0}\) - duljina čavla pri početnoj temperaturi \(t_{0}\)
• \(\ell\) - duljina čavla pri konačnoj temperaturi \(t\)
• \(\Delta t=t-t_{0}\) - promjena temperature

Ako se temperatura čavla povisi s \(t_{0}\) na \(t\), njegova će duljina biti: \[\ell=\ell_{0}\left ( 1+\alpha\,\Delta t \right )\]

Pri temperaturi \(10\,^{\circ}\textrm{C}\) jedan je čavao dva puta dulji od drugog: \[\ell^{\,'}_{10}=2\,\ell_{10}\] Duljine čavala pri \(40\,^{\circ}\textrm{C}\): \[\ell^{\,'}_{40}=\ell^{\,'}_{10}\left(1+30\,\alpha\right)\] \[\ell^{\,'}_{40}=2\,\ell_{10}\left(1+30\,\alpha\right)\] \[\ell_{40}=\ell_{10}\left(1+30\,\alpha\right)\] \[\ell^{\,'}_{40}=2\,\ell_{40}\]

Dulji će se čavao dva puta više produljiti od kraćeg čavla.

Svojstva plina pri visokim tlakovima razlikuju se od svojstava idealnog plina. Jednadžbu stanja idealnog plina \[p\,V=N\,k\,T\] možemo, pod određenim uvjetima, primijeniti i na realne plinove. To je moguće ako tlak nije prevelik i ako je temperatura plina puno veća od temperature pri kojoj plin prelazi u tekuće stanje.

Jednadžba stanja idealnog plina može se primijeniti pri niskom tlaku.

Toplina zagrijavanja

\[Q=m\,c\,\Delta t\] \(m\)-masa tijela
\(c\)-specifični toplinski kapacitet tijela
Toplina potrebna da se jednom kilogramu neke tvari temperatura povisi za jedan stupanj.
\(\Delta t\)-porast temperature tijela

Toplina isparavanja

\[Q_{\textrm{i}}=r\,m\] \(m\)-masa tijela
\(r\) - specifična toplina isparavanja ili latentna toplina isparavanja
Toplina potrebna da jedan kilogram tvari u tekućem agregatnom stanju potpuno ispari.
Jedinica za \(r\): \(\textrm{J}/\textrm{kg}\)

Toplina taljenja

\[Q_{\textrm{t}}=\lambda\,m\] \(m\)-masa tijela
\(\lambda\) - specifična toplina taljenja
Toplina potrebna da se jedan kilogram tvari u čvrstom agregatnom stanju potpuno rastali.
Jedinica za \(\lambda\): \(\textrm{J}/\textrm{kg}\)

Kada bismo jednom kilogramu vodene pare pri \(100\,^{\circ}\textrm{C}\) oduzeli 2,26 MJ topline, sva bi se para kondenzirala u vodu temperature \(100\,^{\circ}\textrm{C}\). Ako oduzmemo 2 MJ topline, kondenzirat će se: \[m=\frac{Q}{r}=\frac{2}{2,26}=0,88\,\textrm{kg}\] pare u vodu.

Prema tome, preostaje 0,88 kg vode i 0,12 kg pare.

Korisnost toplinskog stroja \(\eta\) \[\eta=\frac{W}{Q_{1}}\]

• W - korisni rad kojega obavi stroj
• \(Q_{1}\) - toplina koju stroj prima od toplijeg spremnika (uložena energija)

\[\eta=\frac{W}{Q_{1}}=\frac{1}{4}=0,25\] \[\eta=25\,\%\]

Napomena
Zadatak se može riješiti bez računanja.
Svaki toplinski stroj mora imati dva spremnika, a korisnost toplinskog stroja manja je od \(100\%.\)

Rezultantno električno polje dva naboja \(q_{1}\) i \(q_{2}\) određujemo vektorskim zbrajanjem polja ta dva naboja.

Električno polje točkastog naboja \[E=k\,\frac{q}{r^{2}}\] Oba polja imaju jednak smjer i orijentaciju. Iznos rezultantnog polja na polovištu spojnice naboja određujemo zbrajanjem iznosa oba polja.

Mijenja li se napon između ploča kondenzatora ako između ploča umetnemo dielektrik?

Umetanjem dielektrika mijenjaju se kapacitet i naboj na pločama. Napon između ploča jednak je naponu baterije na koju je spojen.

Snaga žarulje kroz koju prolazi struja \(I\): \[P=U\,I\] gdje je \(U\) napon na krajevima žarulje.
Prema potrebi možemo koristiti i Ohmov zakon: \[U=I\,R\] gdje je \(R\) otpor žarulje.

Kroz žarulju snage \(P_{1}=100\,\textrm{W}\) prolazi struja 1 A. Napon na krajevima te žarulje je: \[U=\frac{P_{1}}{I}=100\,\textrm{V}\] Ako žarulju snage 100 W zamjenimo žaruljom snage 25 W, napon na njezinim krajevima ostaje isti: \[P_{2}=U\,I_{2} = \frac{U^{2}}{R}\] \[R=\frac{U^{2}}{P_{2}}=\frac{100^{2}}{25}=400\,\Omega\]

Lenzovo pravilo
Prema Faradayovom zakonu inducirani elektromotorni napon u vodiču koji se nalazi u promjenjivom magnetskom polju jednak je: \[U_{\textrm{i}}=-\frac{\Delta \phi}{\Delta t}\] Predznak minus je zbog Lenzovog pravila: Inducirani elektromotorni napon u vodiču uzrokuje induciranu struju koja stvara magnetski tok koji je suprotan promjeni magnetskog toka koji je uzrok indukcije.

Pokrenite video.

Gibanje magneta na ulazu u metalni obruč inducira struju koja stvara magnetsko polje suprotnog smjera od magnetskog polja štapičastog magneta. Struja ima smjer koji je suprotan smjeru gibanja kazaljke sata. Pri izlasku iz obruča inducirana struja ima suprotan smjer.

Okrenimo magnet tako da u obruč ulazi najprije južni pol magneta. Pokrenite video.

Gibanje magneta na ulazu u metalni obruč inducira struju koja stvara magnetsko polje suprotnog smjera od magnetskog polja štapičastog magneta. Struja ima smjer koji je je jednak smjeru gibanja kazaljke sata. Pri izlasku iz obruča inducirana struja ima suprotan smjer.

Inducirano magnetsko polje na osnovu Lenzovog pravila mora imati suprotan smjer od magnetskog polja štapičastog magneta.
Obruč obuhvatimo desnom rukom tako da palac pokazuje smjer induciranog magnetskog polja. Savijeni prsti pokazuju smjer inducirane struje. Na slici vidimo da je taj smjer suprotan smjeru gibanja kazaljke sata.

Tijelo će harmonijski titrati ako na njega djeluje harmonijska sila. Harmonijska sila proporcionalna je elongaciji, a smjer joj je suprotan smjeru elongacije. \[\vec{F}=-k\,\vec{x}\]

Iznos harmonijske sile proporcionalan je iznosu elongacije: \[F=k\,x\] Točan odgovor je B.

Jednadžba transverzalnog vala: \[y=A\,\textrm{sin}\left (\omega \,t - k\,x\right)\]

• \(A\) - amplituda vala
• \(\omega=\large{\frac{2\,\pi}{T}}\) - kružna ili kutna frekvencija
• \(k=\large{\frac{2\,\pi}{\lambda}}\) - valni broj

Valnu jednadžbu moguće je zapisati i u obliku: \[y=A\,\textrm{sin}\left(\frac{2\,\pi}{T}\,t-\frac{2\,\pi}{\lambda}\,x\right)\]

• \(T\) - period titranja izvora vala
• \(\lambda\) - valna duljina

Period titranja odredimo pomoću frekvencije: \[T=\frac{1}{f}=2\,\textrm{s}\] Valnu duljinu odredimo pomoću brzine širenja vala i perioda: \[\lambda=v\,T=5\,\textrm{m}\] \[y=A\,\textrm{sin}\left(\frac{\pi}{1\,\textrm{s}}\,t-\frac{2\,\pi}{5\,\textrm{m}}\,x\right)\]

Razina intenziteta zvuka jednaka je: \[L=10\,\textrm{log}\frac{I}{I_{0}}\] Pragu čujnosti \[I_{0}=10^{-12}\,\textrm{W}/\textrm{m}^{2}\] odgovara razina intenziteta od 0 dB

Razina intenziteta zvuka jedne sirene je: \[L_{1}=10\,\textrm{log}\frac{I_{1}}{I_{0}}\] Razina intenziteta zvuka deset jednakih sirene je: \[L_{10}=10\,\textrm{log}\frac{I_{10}}{I_{0}}\] Intenzitet zvuka deset jednakih sirena deset je puta veći od intenziteta jedne sirene \[I_{10}=10\,I_{1}\] \[L_{10}=10\,\textrm{log}\frac{10\,I_{1}}{I_{0}}\] \[L_{10}=10\,\textrm{log}\,10+10\,\textrm{log}\,\frac{I_{1}}{I_{0}}\] \[L_{10}=10+L_{1}\] \[10+L_{1}=50\,\textrm{dB}\] \[L_{1}=40\,\textrm{dB}\] Dobili smo razinu intenziteta zvuka jedne sirene.
Razina intenziteta \(n\) jednakih sirena bit će: \[L_{\textrm{n}}=10\,\textrm{log}\frac{I_{\textrm{n}}}{I_{0}}\] \[I_{\textrm{n}}=n\,I_{1}\] \[L_{\textrm{n}}=10\,\textrm{log}\frac{n\,I_{1}}{I_{0}}\] \[L_{\textrm{n}}=10\,\textrm{log}\,n+10\,\textrm{log}\,\frac{I_{1}}{I_{0}}\] \[L_{\textrm{n}}=10\,\textrm{log}\,n+L_{1}\] \[10\,\textrm{log}\,n+40\,\textrm{dB}=60\,\textrm{dB}\] \[10\,\textrm{log}\,n=20\,\textrm{dB}\] \[\textrm{log}\,n=2\,\textrm{dB}\] \[n=100\]

Dalekovidno oko

Kada čovjek s dalekovidnim okom promatra neki predmet, svjetlosni snop koji dolazi od tog predmeta fokusira se na neko mjesto koje je iza mrežnice oka.

To se korigira pomoću naočala s konvergentnim lećama, koje se stavljaju ispred oka. (Žarišna daljina kombinacije dviju leća, leće naočala i očne leće, manja je od žarišne daljine same očne leće.) Na taj se način smanjuje žarišna daljina pa slika predmeta pada na mrežnicu. Starenjem se sposobnost akomodacije oka smanjuje jer leća gubi elastičnost, pa se najmanja daljina jasnog vida postupno povećava. Oko postaje sve dalekovidnije. U dobi od 10 godina najmanja je udaljenost jasnog vida oko 7 cm, a starenjem se postupno povećava i u dobi od 60 godina iznosi oko 2 m ili više.

Kratkovidno oko

Kratkovidno oko od upadnoga svjetlosnog snopa stvara sliku ispred očne mrežnice. To se korigira pomoću naočala s divergentnom lećom.

Konvergentne leće korigiraju dalekovidnost. Konvergentne leće imaju pozitivnu žarišnu daljinu, odnosno pozitivnu jakost (+2,5 dioptrija u zadatku).

Iz jednadžbe za optičku rešetku \[d\,\textrm{sin}\,\alpha_{\textrm{k}}=k\,\lambda\] moguće je odrediti kutove pod kojima se vide ogibni maksimumi: \[\textrm{sin}\,\alpha_{\textrm{k}}=\frac{k\,\lambda}{d}\]

Kutovi pod kojima vidimo ogibne maksimume obrnuto su proporcionalni konstanti optičke rešetke. \[\textrm{sin}\,\alpha_{\textrm{k}}=\frac{k\,\lambda}{d}\] Ti su kutovi najmanji ako je konstanta optičke rešetke najveća.

Elektromagnetski valovi u vakuumu šire se brzinom svjetlosti: \[c\approx 3\cdot 10^{8}\,\textrm{m/s}\]

Brzina svjetlosti u vakuumu je konstantna pa je točan odgovor D.

De Broglieva valna duljina čestice mase \(m\) koja se giba brzinom \(v\): \[\lambda=\frac{h}{m\,v}\] Kinetička energija čestice: \[E_{\textrm{k}}=\frac{1}{2}\,m\,v^{2}\]

Izjednačimo de Broglievu valnu duljinu elektrona \[\lambda_{\textrm{e}}=\frac{h}{m_{\textrm{e}}\,v_{\textrm{e}}}\] s de Broglievom valnom duljinom protona \[\lambda_{\textrm{p}}=\frac{h}{m_{\textrm{p}}\,v_{\textrm{p}}}\] \[\frac{h}{m_{\textrm{e}}\,v_{\textrm{e}}}=\frac{h}{m_{\textrm{p}}\,v_{\textrm{p}}}\] \[\frac{m_{\textrm{e}}\,v_{\textrm{e}}}{m_{\textrm{p}}\,v_{\textrm{p}}}=1\] \[\frac{v_{\textrm{e}}}{v_{\textrm{p}}}=\frac{m_{\textrm{p}}}{m_{\textrm{e}}}\qquad(1)\] \[m_{\textrm{p}} > m_{\textrm{e}}\Rightarrow v_{\textrm{e}} > v_{\textrm{p}}\] Brzina elektrona veća je od brzine protona.
Odredimo omjer kinetičkih energija elektrona i protona: \[\frac{E_{\textrm{ke}}}{E_{\textrm{kp}}}=\frac{1}{2}\,m_{\textrm{e}}\,v_{\textrm{e}}^{2}\cdot \frac{2}{m_{\textrm{p}}\,v_{\textrm{p}}^{2}}\] \[\frac{E_{\textrm{ke}}}{E_{\textrm{kp}}}=\frac{m_{\textrm{e}}}{m_{\textrm{p}}}\cdot \left(\frac{v_{\textrm{e}}}{v_{\textrm{p}}}\right)^{2}\] Uzmimo u obzir izraz (1): \[\frac{E_{\textrm{ke}}}{E_{\textrm{kp}}}=\frac{m_{\textrm{e}}}{m_{\textrm{p}}}\cdot \left(\frac{m_{\textrm{p}}}{m_{\textrm{e}}}\right)^{2}\] \[\frac{E_{\textrm{ke}}}{E_{\textrm{kp}}}=\frac{m_{\textrm{p}}}{m_{\textrm{e}}}\] \[m_{\textrm{p}} > m_{\textrm{e}}\Rightarrow E_{\textrm{ke}} > E_{\textrm{kp}}\] Kinetička energija elektrona veća je od kinetičke energije protona.
Točan odgovor je A.

Prvih pet stacionarnih stanja shematski je prikazano na slici.

Prijelazom atoma iz stacionarnog stanja \(n=5\) u stacionarno stanje \(m=1\) dolazi do emisije fotona najveće energije (za stacionarna stanja prikazana na slici): \[E_{\textrm{f}}=E_{5}-E_{1}=13,06\,\textrm{eV}\] Prijelazom atoma iz stacionarnog stanja \(n=5\) u stacionarno stanje \(k=4\) dolazi do emisije fotona najniže energije (za stacionarna stanja prikazana na slici): \[E_{\textrm{f}}=E_{5}-E_{4}=0,31\,\textrm{eV}\] Točan odgovor je D (prijelaz atoma iz stacionarnog stanja \(n=5\) u stacionarno stanje \(k=4.\))

U nuklearnim reakcijama vrijede sljedeći zakoni očuvanja:

1. Očuvanje električnog naboja: \(Z_{1}+Z_{2}=Z_{3}+Z_{4}\).
   Broj protona prije reakcije \(Z_{1}+Z_{2}\), jednak je broju protona nakon reakcije \(Z_{3}+Z_{4}\). Umjesto protona mogu biti i čestice naboja +e, -e, 0. Bitno je da ukupni naboj prije reakcije bude jednak ukupnom naboju nakon reakcije.
2. Očuvanje broja nukleona: \(A_{1}+A_{2}=A_{3}+A_{4}\).
   Broj nukleona prije reakcije \(A_{1}+A_{2}\), jednak je broju nukleona nakon reakcije \(A_{3}+A_{4}\).
3. Očuvanje ukupne relativističke energije: \(E_{1}+E_{2}=E_{3}+E_{4}\).
   Ukupna energija prije reakcije \(E_{1}+E_{2}\), jednaka je ukupnoj energiji nakon reakcije \(E_{3}+E_{4}\).
4. Očuvanje količine gibanja: \(p_{1}+p_{2}=p_{3}+p_{4}\).
   Ukupna količina gibanja prije reakcije \(p_{1}+p_{2}\), jednaka je ukupnoj količini gibanja nakon reakcije \(p_{3}+p_{4}\).

Prve tri jednadžbe zadovoljavaju očuvanje električnog naboja i očuvanje broja nukleona.
Četvrta jednadžba ne zadovoljava navedene zakone očuvanja.
\(\beta^{+}\) čestica je pozitron \({_{+1}^{\;\;0}}\textrm{e}\) (antičestica elektrona).

Nuklearna fuzija

Masa bilo koje stabilne jezgre manja je od ukupne mase slobodnih nukleona koji čine tu jezgru. Zato se izgradnjom takvih jezgara oslobađa energija. Fuzija je nuklearna reakcija u kojoj od slobodnih nukleona nastaje jezgra ili proces u kojemu se lake jezgre spajaju u teže jezgre uz oslobađanje energije.

Energija koja se stvara u Suncu jest energija oslobođena u procesima fuzije.

Reakcije prikazane na slici odvijaju se u uvjetima visokih temperatura na Suncu. Postizanje tako visokih temperatura na Zemlji glavnni je problem za korištenje energije fuzije na Zemlji.

Za nuklearnu fuziju najvažnije su reakcije između jezgara najlakših atoma \(_{1}^{2}\textrm{H}\) (deuterij), \(_{1}^{3}\textrm{H}\) (tricij) i \(_{2}^{3}\textrm{He}\) (izotop helija): \begin{matrix} \begin{align*} &_{1}^{2}\textrm{H}+_{1}^{2}\textrm{H}\rightarrow _{2}^{3}\textrm{He}+_{0}^{1}\textrm{n}\,\qquad Q=3,27\,\textrm{MeV}\\ &_{1}^{2}\textrm{H}+_{1}^{2}\textrm{H}\rightarrow _{1}^{3}\textrm{H}+_{1}^{1}\textrm{p}\,\,\,\,\qquad Q=4,03\,\textrm{MeV}\\ &_{1}^{2}\textrm{H}+_{1}^{3}\textrm{H}\rightarrow _{2}^{4}\textrm{He}+_{0}^{1}\textrm{n}\,\,\qquad Q=17,6\,\textrm{MeV}\\ &_{1}^{2}\textrm{H}+_{2}^{3}\textrm{He}\rightarrow _{2}^{4}\textrm{He}+_{1}^{1}\textrm{p}\qquad Q=18,3\,\textrm{MeV} \end{align*} \end{matrix} Jezgra atoma deuterija zove se deuteron, a jezgra tricija zove se triton.

Točan odgovor je A.

Kontrakcija duljine: \[L=L_{0}\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}\]

• \(L_{0}\) - duljina rakete u smjeru gibanja koju mjeri putnik u raketi (putnik u raketi miruje)
• \(L\) - duljina rakete u smjeru gibanja koju mjeri promatrač u odnosu na kojega se raketa giba brzinom \(v\)
• \(c\) - brzina svjetlosti

\[L=1000\,\textrm{m}\] \[L_{0}=\frac{L}{\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}}=1250\,\textrm{m}\]

Svemir je nastao prije 13,8 milijardi godina u događaju kojega nazivamo veliki prasak (Big Bang).

Izohorna promjena stanja plina (volumen plina je konstantan): \[\frac{P_{1}}{T_{1}}=\frac{P_{2}}{T_{2}}\]

\[\frac{P_{1}}{T_{1}}=\frac{P_{2}}{T_{2}}\] \[P_{1}=P_{2}\,\frac{T_{1}}{T_{2}}\] \[P_{2}=P_{1}+100\,\textrm{kPa}\] \[P_{1}=\left(P_{1}+100\,\textrm{kPa}\right)\cdot\frac{293}{879}\] \[P_{1}=\left(P_{1}+100\,\textrm{kPa}\right)\cdot\frac{1}{3}\] \[3\,P_{1}=P_{1}+100\,\textrm{kPa}\] \[2\,P_{1}=100\,\textrm{kPa}\] \[P_{1}=50\,\textrm{kPa}\]

Frekvencija vala jednaka je frekvenciji titranja izvora vala: \[f=\frac{n}{t}\]

• \(n\) - broj titraja izvora vala za vrijeme \(t\)

Frekvenciju titranja izvora možemo odrediti i kao recipročnu vrijednost perioda titranja izvora: \[f=\frac{1}{T}\]

Valna duljina jednaka je udaljenosti koju prijeđe val za vrijeme dok izvor vala izvrši jedan puni titraj. Iz slike vidimo da je izvor vala izvršio \(n=3\) puna titraja za vrijeme \(t=1,5\,\textrm{s}\). \[f=\frac{n}{t}=\frac{3}{1,5}=2\,\textrm{Hz}\]

Uzgon je sila koja djeluje na tijelo uronjeno u fluid i koja je suprotno orijentirana od sile teže: \[F_{\textrm{u}}=\rho g V_{\textrm{udt}}\]

• \(\rho\) - gustoća fluida (u ovom zadatku je to gustoća vode)
• \(V_{\textrm{udt}}\) - volumen uronjenog dijela tijela

Na dasku djeluju sila teža i sila uzgona. Te dvije sile imaju jednak iznos jer daska miruje. \[F_{\textrm{u}}=\rho_{1}\,g\,V_{1}\]

• \(\rho_{1}=1000\,\textrm{kg/m}^{3}\) - gustoća vode
• \(V_{1}\) - volumen uronjenog dijela daske

\[F_{\textrm{g}}=m\,g\] \[m=\rho_{\textrm{d}}\,V\] \[F_{\textrm{g}}=\rho_{\textrm{d}}\,V\,g\]

• \(\rho_{\textrm{d}}=800\,\textrm{kg/m}^{3}\) - gustoća drvene daske
• \(V\) - volumen daske

\[F_{\textrm{u}}=F_{\textrm{g}}\] \[\rho_{1}\,g\,V_{1}=\rho_{\textrm{d}}\,V\,g\] \[V_{1}=\frac{\rho_{\textrm{d}}}{\rho_{1}}\,V=0,8\,V\]

\[F_{\textrm{u}}=F_{\textrm{g}}\] \[F_{\textrm{u}}=\rho_{2}\,g\,V_{2}\]

• \(\rho_{2}=1100\,\textrm{kg/m}^{3}\) - gustoća vode kojoj smo dodali sol
• \(V_{2}\) - volumen uronjenog dijela daske

\[\rho_{2}\,g\,V_{2}=\rho_{\textrm{d}}\,V\,g\] \[V_{2}=\frac{\rho_{\textrm{d}}}{\rho_{2}}\,V=0,727\,V\] Smanjenje volumena: \[\Delta V=V_{2}-V_{1}=0,073\,V\] Smanjenje volumena u postocima u odnosu na volumen daske: \[\frac{\Delta V}{V}\cdot 100=7,3\,\%\]

Unutarnja energija termodinamičkog sustava može se mijenjati pomoću topline koju sustav izmjenjuje s okolinom i pomoću rada kojeg sustav obavlja nad okolinom ili okolina obavlja nad sustavom.

• \(Q\) - toplina koju sustav razmjenuje s okolinom
• \(W\) - rad kojeg sustav obavlja nad okolinom ili okolina obavlja nad sustavom
• \(\Delta U=U_{2}-U_{1}\) - promjena unutarnje energije sustava (razlika unutarnjih energija u konačnom i početnom stanju)

Primijenimo zakon očuvanja energije. Promjena unutarnje energije zatvorenog sustava jednaka je razlici energije koju sustav prima zagrijavanjem i rada kojeg sustav obavlja nad okolinom. \[\Delta U= Q - W\] Ovo je matematički zapis općeg zakona o očuvanju energije, pri čemu su uključeni unutarnja energija, toplina i mehanički rad, a nazivamo ga prvi zakon termodinamike.
Prvi zakon termodinamike zapisujemo i u obliku: \[Q = W + \Delta U\] Toplina dovedena sustavu pretvara se u mehanički rad i promjenu unutarnje energije.
U termodinamičkom sustavu energija ne može nastati ni nestati sama po sebi. Energija može prelaziti iz jednog oblika u drugi.

Primijenimo prvi zakon termodinamike na termodinamičke procese kroz koje prolazi idealni plin.
Promjena unutarnje energije idealnog plina jednaka je: \begin{matrix} \begin{align*} &\Delta U=U_{2}-U_{1}\\ &\Delta U=\frac{i}{2}n\,R\,T_{2}-\frac{i}{2}n\,R\,T_{1}\\ &\Delta U=\frac{i}{2}n\,R\,\left(T_{2}-T_{1} \right)\\ &\Delta U=\frac{i}{2}n\,R\,\Delta T \end{align*} \end{matrix}

• \(i=3\) za jednoatomni idealni plin
• \(i=5\) za dvoatomni idealni plin

• Izotermni proces: \(T=\textrm{konst.}\) proces u kojemu se ne mijenja temperatura plina
• Adijabatski proces: \(Q=0\) proces u kojemu nema izmjene topline između plina i okoline

Proces A-B:
Temperatura je konstantna. Promjena unutarnje energije: \[\Delta U_{\textrm{AB}}=\frac{i}{2}n\,R\,\Delta T = 0\] Proces B-C:
Nema izmjene topline između plina i okoline: \[Q=0\] Na osnovu prvog zakona termodinamike: \[\Delta U= Q - W\] zaključujemo: \[\Delta U_{\textrm{BC}}=- W=-3\,\textrm{J}\] Pri adijabatskom širenju plin obavlja rad na račun svoje unutarnje energije pa se ona zbog toga smanjuje.
Pri adijabatskom sabijanju okolina obavlja rad pa se unutarnja energija povećava.

Na električni naboj u homogenom električnom polju djeluju sila teža i električna sila.
Kako su te sile orijentirane?

Na električni naboj \(q=20\,\textrm{C}\) i mase \(m=50\,\textrm{g}\) djeluju sila teža \(F_{\textrm{g}}=m\,g\) i električna sila \(F_{\textrm{e}}=q\,E\):
Napetost niti \(N\) iznosi: \[N=F_{\textrm{g}}-F_{\textrm{e}}\] \[N=m\,g-qE=0,45\,\textrm{N}\]

Energija jednog fotona: \[E_{\textrm{f}}=h\,f=\frac{h\,c}{\lambda}\] Energija \(N\) fotona: \[E=N\,E_{\textrm{f}}\] Snaga lasera: \[P=\frac{E}{t}\]

\[E_{\textrm{f}}=h\,f=\frac{h\,c}{\lambda}=3,32\cdot 10^{-19}\,\textrm{J}\] \[P=\frac{E}{t}=\frac{N\,E_{\textrm{f}}}{t}\] \[N=\frac{P\,t}{E_{\textrm{f}}}=3\cdot 10^{18}\]

1. Kolika je maksimalna visina koju postigne projektil? Ako ne znate gotov izraz, primijenite zakon očuvanja mehaničke energije.
2. U najvišoj točki kugla se raspadne na dva dijela. Primijenite zakon očuvanja količine gibanja kako biste odredili brzinu većeg dijela projektila.
3. Kolikom brzinom veći dio projektila padne na tlo? Ako ne znate gotov izraz, primijenite zakon očuvanja mehaničke energije.

Mehanička energija projektila u trenutku izbacivanja jednaka je njegovoj kinetičkoj energiji: \[E_{1}=\frac{1}{2}m\,v_{0}^{2}\] U trenutku kada projektil dostigne najvišu točku, na trenutak zastane pa mu je kinetička energija jednaka nuli. Mehanička energija tada je jednaka njegovoj gravitacijskoj potencijalnoj energiji: \[E_{2}=m\,g\,h_{\textrm{maks}}\] Primijenimo zakon očuvanja mehaničke energije: \[E_{1}=E_{2}\] \[\frac{1}{2}m\,v_{0}^{2}=m\,g\,h_{\textrm{maks}}\] Maksimalna visina do koje se projektil podigne je: \[h_{\textrm{maks}}=\frac{v_{0}^{2}}{2\,g}=5\,\textrm{m/s}\] Primijenimo zakon očuvanja količine gibanja. U najvišoj točki, neposredno prije nego se projektil raspadne, količina gibanja jednaka je nuli jer se projektil na trenutak zaustavio: \[0=m_{1}\,v_{1}-m_{2}\,v_{2}\] \[v_{2}=\frac{m_{1}}{m_{2}}\cdot v_{1}=3\,\textrm{m/s}\] Ukupna mehanička energija u tom trenutku jednaka je zbroju kinetičke i gravitacijske potencijalne energije projektila: \[E_{3}=\frac{1}{2}m_{2}\,v_{2}^{2}+m_{2}\,g\,h_{\textrm{maks}}\] U trenutku kada veći dio projektila mase \(m_{2}=5\,\textrm{kg}\) padne na tlo, njegova je energija jednaka kinetičkoj energiji u trenutku pada: \[E_{4}=\frac{1}{2}m_{2}\,v^{2}\] Primijenimo zakon očuvanja mehaničke energije: \[E_{3}=E_{4}\] \[\frac{1}{2}\,m_{2}\,v_{2}^{2}+m_{2}\,g\,h_{\textrm{maks}}=\frac{1}{2}\,m_{2}\,v^{2}\] \[v^{2}=v_{2}^{2}+2\,g\,h_{\textrm{maks}}\] \[v=\sqrt{v_{2}^{2}+2\,g\,h_{\textrm{maks}}}=10,44\,\textrm{m/s}\]

1. Koje sile djeluju na skijaša?
2. Odredite rezultantu svih sila koje djeluju na skijaša.
3. Primijenite temeljni zakon gibanja.

Na skijaša djeluju:

• Sila teža \(F_{\textrm{g}}\)
• Reakcija podloge (sila kojom podloga djeluje na skijaša) \(N\)
• Sila trenja \(F_{\textrm{t}}\)
• Sila otpora zraka \(F_{\textrm{oz}}\)

Rezultanta sila \(F_{\textrm{g}}\) i \(N\), koja je na slici označena s \(F_{1}\), vuče skijaša prema dnu kosine: \[F_{1}=F_{\textrm{g}}\,\textrm{sin}\,\alpha\] \[F_{1}=m\,g\,\textrm{sin}\,\alpha\] \[F_{1}=\frac{m\,g}{2}=400\,\textrm{N}\] \[N=F_{\textrm{g}}\,\textrm{cos}\,\alpha\] \[N=m\,g\,\textrm{cos}\,\alpha=692,82\,\textrm{N}\] \[F_{\textrm{t}}=\mu\,N=55,43\,\textrm{N}\] Iz slike vidimo da je rezultanta svih sila koje djeluju na skijaša jednaka: \[F=F_{1}-\left(F_{\textrm{t}}+F_{\textrm{oz}}\right)=324,57\,\textrm{N}\] Akceleraciju skijaša odredimo pomoću drugog Newtonovog zakona: \[a=\frac{F}{m}=4,06\,\textrm{m/s}^{2}\]

Rad kojeg obavi električno polje pretvori se u kinetičku energiju elektrona.
Kada elektron uleti okomito na homogeno magnetsko polje, na njega djeluje Lorentzova sila: \[F_{\small{\textrm{L}}}=e\,v\,B\] Lorentzova sila ima ulogu centripetalne sile zbog čega se u magnetskom polju elektron giba jednoliko po kružnici.

Rad kojeg obavi električno polje: \[W=e\,U\] Kinetička energija elektrona: \[E_{\textrm{k}}=\frac{1}{2}\,m\,v^{2}\] \[E_{\textrm{k}}=W\] \[\frac{1}{2}\,m\,v^{2}=e\,U\qquad(1)\] Ulogu centripetalne sile \[F_{\textrm{cp}}=\frac{m\,v^{2}}{r}\] ima Lorentzova sila \[F_{\small{\textrm{L}}}=e\,v\,B\] \[F_{\textrm{cp}}=F_{\small{\textrm{L}}}\] \[e\,v\,B=\frac{m\,v^{2}}{r}\] \[v=\frac{e\,B\,r}{m}\] Ovaj izraz za brzinu uvrstimo u izraz (1): \[\frac{m}{2}\cdot \frac{e^{2}\,B^{2}\,r^{2}}{m^{2}}=e\,U\] \[m=\frac{e\,B^{2}\,r^{2}}{2\,U}\] \[m=8\cdot 10^{-26}\,\textrm{kg}\]

Ukupna mehanička energija harmonijskog titranja u nekom trenutku jednaka je zbroju elastične potencijalne energije i kinetičke energije: \[E=E_{\textrm{ep}}+E_{\textrm{k}}\] \[E=\frac{1}{2}\,k\,x^{2}+\frac{1}{2}\,m\,v^{2}\] Kada se tijelo nalazi u amplitudnom položaju ukupna mehanička energija jednaka je maksimalnoj elastičnoj potencijalnoj energiji: \[E=\frac{1}{2}\,k\,A^{2}\] Kada se tijelo nalazi u ravnotežnom položaju ukupna mehanička energija jednaka je maksimalnoj kinetičkoj energiji: \[E=\frac{1}{2}\,m\,v_{0}^{2}\]

Odredimo harmonijsku konstantu ovog titranja: \[k=m\,\omega^{2}\] \[k=m\,\left(\frac{2\,\pi}{T}\right)^{2}=3,04\,\textrm{N/m}\] Ukupna energija jednaka je maksimalnoj elastičnoj potencijalnoj energiji: \[E=\frac{1}{2}\,k\,A^{2}\] \[E=0,034\,\textrm{J}\] Elastična potencijalna energija u trenutku kada je elongacija titranja tijela x = 5 cm: \[E_{\textrm{ep}}=\frac{1}{2}\,k\,x^{2}=3,8\cdot 10^{-3}\,\textrm{J}\] \[E_{\textrm{k}}=E-E_{\textrm{ep}}=0,03\,\textrm{J}\]

35.1.
Voltmetar se spaja paralelno s izvorom struje dok je strujni krug otvoren.

35.2.

Voltmetar se spaja paralelno s izvorom struje dok je strujni krug otvoren. Dok je strujni krug otvoren, kroz njega struja ne prolazi. Iz \(U,I\) grafa vidimo da struji od 0 A odgovara napon od 9 V.

35.3.
Unutarnji otpor moguće je odrediti tako da polove izvora struje kratko spojimo. Primijenimo Ohmov zakon za cijeli strujni krug: \[I=\frac{\large{\varepsilon}}{R_{\textrm{u}}+R_{\textrm{v}}}\] Kada polove izvora struje kratko spojimo vanjski otpor jednak je nuli \[R_{\textrm{v}}=0\] \[I=\frac{\large\varepsilon}{R_{\textrm{u}}}\] Struju kratkog spoja očitamo iz grafa kao najveću vrijednost struje \[I_{\textrm{ks}}=6\,\textrm{A}\] \[R_{\textrm{u}}=\frac{\large{\varepsilon}}{I_{\textrm{ks}}}=1,5\,\Omega\]