Kako ovisi elastična sila o produljenju opruge? Kojom se formulom može prikazati?

Elastična sila \(F_{\textrm{el}}\) proporcionalna je produljenju \(x\): \(F_{\textrm{el}}=kx\). Iz ovog izraza za konstantu elastičnosti dobijemo \[k=\frac{F_{\textrm{el}}}{x}=150\,\textrm{N/m}\]

Primijenite prvi Newtonov zakon.

Budući da se kvadar giba jednoliko, ukupna sila na njega mora biti jednaka nuli, pa zaključiujemo da je sila trenja suprotno orijentirana i ima jednak iznos kao i sila \(F\): \[F_{\textrm{tr}}=3\,\textrm{N}\]

Horizontalni hitac je složeno gibanje. Od kojih se jednostavnih gibanja sastoji? Kako se mijenjaju njihove brzine?

Horizontalni hitac sastoji se od jednolikog gibanja po horizontalnom pravcu i slobodnog pada po vertikalnom pravcu. Brzina jednolikog gibanja po horizontalnom pravcu ne mijenja se. Graf D. prikazuje gibanje tijela konstantnom brzinom.

Primijenite treći Keplerov zakon na sustav planeta oko kojega kruže dva satelita.

Treći Keplerov zakon:
Kvadrati ophodnih vremena satelita odnose se kao kubovi njihovih srednjih udaljenosti od planeta. \[\left(T:\frac{T}{8}\right)^{2}=\left(r:r_{2}\right)^{3}\] \[\left(\frac{r}{r_{2}}\right)^{3}=64\] \[r_{2}=\frac{r}{\sqrt[3]{64}}=\frac{r}{4}\]

O čemu ovisi i kojim se izrazom može prikazati hidrostatski tlak u tekućini?

Hidrostatski tlak na neku točku u tekućini ovisi o gustoći tekućine \(\rho\), akceleraciji sile teže \(g\) i dubini na kojoj se točka nalazi, \(h\). (udaljenost od površine tekućine) \[p=\rho g h\] Na crtežu vidimo da se na najmanjoj dubini nalazi točka A, zatim točka B pa onda točke C i D. Tako se onda odnose i pripadni hidrostatski tlakovi.

Voda se nalazi u zatvorenoj posudi.

Ako vodu zagrijavamo u zatvorenoj posudi njezina se masa ne mijenja.

Primijenite prvi zakon termodinamike.

Toplina je energija i ako ju dovodimo sustavu (npr. plin u posudi s pomičnim klipom) ona može povećati unutarnju energiju sustava ili omogućiti sustavu da vrši rad. To je opći zakon očuvanja energije. Nazivamo ga i prvi zakon termodinamike. \[\Delta Q=W+\Delta U\] Često se prvi zakon termodinamike zapisuje i ovako: \[\Delta U= \Delta Q-W\] Unutarnju energiju sustava možemo mijenjati dovođenjem ili odvođenjem topline i vršenjem rada.

U primjeru iz zadatka plin predaje toplinu pa je ona negativna: \(\Delta Q = - 100\,\textrm{J}\). Plin vrši rad pa je on pozitivan: \(W=20\, \textrm{J}\). Ako ove podatke uvrstimo u prvi zakon termodinamike, dobivamo: \[\Delta U= \Delta Q-W=-100 - 20 = - 120\, \textrm{J}\]

Primijenite zakon očuvanja električnog naboja.

Ukupan električni naboj krpe i tijela prije trljanja bio je jednak nuli. Prema zakonu očuvanja električnog naboja, toliki mora biti i nakon trljanja.
Iako je nakon trljanja naboj tijela \(+Q\), ne treba zaboraviti da je naboj krpe \(-Q\) pa je ukupni naboj jednak nuli.

Primijenite Ohmov zakon za cijeli strujni krug. Što je struja kratkoga spoja?

Iz Ohmova zakona za cijeli strujni krug: \[I=\frac{\large{\varepsilon}}{R+R_{\textrm{u}}}\] vidimo da je struja koja prolazi krugom maksimalna ako je vanjski otpor \(R\) jednak nuli. Tu struju nazivamo strujom kratkog spoja. Iz zadanog grafa vidimo da maksimalna struja iznosi \(6\,\textrm{A}\).

Što znamo o naponima na paralelno spojenim otporima? Odredite struje kroz prva dva otpora i primijenite prvo Kirchhoffovo pravilo.

Otpori su spojeni paralelno pa su naponi na njima jednaki: \[U_{1}=U_{2}=U_{3}\] Na svaki od tih otpora primijenimo Ohmov zakon za dio strujnog kruga: \[I_{1}\,R_{1}=I_{2}\,R_{2}=I_{3}\,R_{3}\] Iz drugog i trećeg člana dobijemo: \[I_{2}=\frac{I_{3}\,R_{3}}{R_{2}}=3\,\cdot \frac{4}{2}=6\,\textrm{A}\] Iz prvog i trećeg člana dobivamo: \[I_{1}=\frac{I_{3}\,R_{3}}{R_{1}}=3\,\cdot \frac{4}{1}=12\,\textrm{A}\] Na osnovu prvog Kirchhoffovog pravila ampermetar će prikazivati struju: \[I=I_{1}+I_{2}+I_{3}=3+6+12=21\,\textrm{A}\]

Kolika je maksimalna struja kroz otpornik? Primijenite Ohmov zakon.

Iz grafa čitamo da je maksimalna struja: \[I_{0}=5\,\textrm{A}\] Na osnovu Ohmovog zakona maksimalni napon iznosi: \[U_{0}=I_{0}\,R=500\,\textrm{V}\]

Napišite jednadžbu za harmonijsko titranje i usporedite ju sa zadanom jednadžbom.

Jednadžbu harmonijskog titranja \[y=y_{0}\,\textrm{sin}\left ( 2\pi\frac{t}{T}+\varphi_{0} \right )\] usporedimo s jednadžbom titranja iz zadatka \[y=2\,\textrm{m}\cdot \textrm{sin}\left ( \frac{\pi\,t}{3\,\textrm{s}}\right )\] Izjednačimo članove u zagradama koji sadrže vrijeme \[\frac{\pi\,t}{3\,\textrm{s}}=2\pi\frac{t}{T}\] Rješenje ove jednadžbe je \[T=6\,\textrm{s}\]

Kako valna duljina elektromagnetskog vala ovisi o njegovoj brzini i o periodu titranja \(\textrm{LC}\) kruga? Kako se može prikazati period titranja \(\textrm{LC}\) kruga?

Valna duljina elektromagnetskog vala može se prikazati kao \(\lambda=c\cdot T\), gdje je \(T\) period elektromagnetskih titraja titrajnoga \(\textrm{LC}\) kruga: \[T=2\pi\sqrt{LC}\] Neka su početna valjna duljina i period \[\lambda_{0}=c\cdot T_{0}\] \[T_{0}=2\pi\sqrt{LC_{0}}\] Konačne vrijednosti: \[\lambda=c\cdot T\] \[T=2\pi\sqrt{LC}\] Konačni kapacitet je \(C=C_{0}/9\). Za omjer valnih duljina dobivamo: \[\frac{\lambda}{\lambda_{0}}=\sqrt\frac{C}{C_{0}}=\frac{1}{3}\]

Koliko je vremena potrebno svjetlosti i zvuku da stignu do promatrača? Uzmite u obzir da zvuk putuje dvije sekunde dulje.

Vrijeme potrebno svjetlosti da stigne do promatrača: \[t_{\textrm{sv}}=\frac{s}{c}\] Vrijeme potrebno zvuku da stigne do promatrača: \[t_{\textrm{zv}}=\frac{s}{v}\] Iz ove dvije jednadžbe dobijemo: \[\frac{t_{\textrm{sv}}}{t_{\textrm{zv}}}=\frac{v}{c}\ll 1\] Brzina svjetlosti puno je veća od brzine zvuka, pa možemo pretpostaviti da svjetlost do promatrača stigne "trenutno" (\(t_{\textrm{sv}}\approx 0\)).
Udaljenost promatrača od mjesta eksplozije jednaka je: \[s=v\cdot t_{\textrm{zv}}=680\,\textrm{m}\]

Napišite jednadžbu leće. Pripazite na predznake za slučaj divergentne leće.

Jednadžba leće je \[\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{f}\] Iz jednadžbe leće za udaljenost oštre slike dobivamo: \[\frac{1}{b}=\frac{1}{f}-\frac{1}{a}\Rightarrow b=\frac {f\,a}{a-f}\] Žarišna daljina divergentne leće je negativna \[f < 0\] Udaljenost realnog predmeta je \[a=2\,f\] Udaljenost virtualne slike je negativna: \[b < 0 \Rightarrow b=-d\] Za udaljenost \(d\) dobivamo \[-d=\frac {f\,a}{a-f}=\frac{-f\cdot 2f}{2f+f}=\frac{-2\,f^{2}}{3\,f}=-\frac{2\,f}{3}\] \[d=\frac{2\,f}{3}\]

Koji je uvjet da se bilo koja dva vala interferencijom ponište? To vrijedi i za svjetlosne snopove.

Neka je put jednog snopa do točke T jednak \(x_{1}\) a drugog \(x_{2}\). Razlika u prijeđenim putevima je \[\Delta x=x_{2}-x_{1}\] Snopovi svjetlosti u točki T će se poništiti (destruktivna interferencija) ako je razlika putova koje snopovi prijeđu \[\Delta x=\left ( 2\,k+1 \right )\frac{\lambda}{2}\] Ovdje je \(k\) cijeli broj pa je \(2k + 1\) neparan broj.
Do destruktivne interferencije dolazi kada je razlika putova jednaka neparnom broju polovina valne duljine.

Prisjetite se kontrakcije duljine.

Kontrakciju duljine možemo prikazati kao \[L=L_{0}\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}\] \(L\) je duljina postaje koju mjere astronauti u svemirskom brodu, a \(L_{0}\) duljina koju mjere promatrači u postaji. Za \(L_{0}\) dobivamo \[L_{0}=\frac{L}{\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}}=100\, \textrm{m}\]

Čemu je jednaka de Broglieva valna duljina čestice koja ima masu \(m\) i giba se brzinom \(v\)? Kojim se izrazom može prikazati?

De Broglieva valna duljina čestice mase \(m\) koja se giba brzinom \(v\) jednaka je \[\lambda =\frac{h}{mv}\] Ovdje je h Planckova konstanta. Vidimo da će čestice imati jednaku de Broglievu valnu duljinu ako je umnožak \(m\,v\) jednak za obje čestice, odnosno ako obje čestice imaju jednaku količinu gibanja.
Čestice mogu imati jednaku količinu gibanja ako se čestica manje mase giba većom brzinom.

U ovom je zadatku riječ o fotoefektu. Kojom je jednadžbom Einstein objasnio fotoefekt?

Prema Einsteinu, energija fotona \(E_{\textrm{f}}\) koji padaju na metal, dijelom se "troši" na svladavanje izlaznog rada, \(W\) (rad kojega je potrebno izvršiti da elektron napusti metal), a dijelom na kinetičku energiju tih elektrona \(E_{\textrm{k}}\). \[E_{\textrm{f}}=W+E_{\textrm{k}}\] Ako uvrstimo podatke za fotone energije \(9\,\textrm{eV}\), možemo izračunati izlazni rad za taj metal \[W=E_{\textrm{f}}-E_{\textrm{k}}=3\,\textrm{eV}\] Fotoni energije \(18\,\textrm{eV}\) izbacivat će elektrone kojima je kinetička energija jednaka \[E_{\textrm{k}}=E_{\textrm{f}}-W=15\,\textrm{eV}\]

Za nuklearne reakcije vrijede zakon očuvanja broja protona (redni broj) i broja nukleona (maseni broj).

Prema zakonu očuvanja broja protona vrijedi: \[20+1=19+\textrm{Z}\] Za redni broj nastale čestice dobivamo \[\textrm{Z}=2\] Prema zakonu očuvanja broja nukleona vrijedi: \[44+1=41+\textrm{A}\] Za redni broj nastale čestice dobivamo \[\textrm{A}=4\] Jezgra s rednim brojem 2 i masenim brojem 4 je jezgra helija. Maseni broj u ovom primjeru nismo ni morali određivati.

Primijenite zakon radioaktivnog raspada.

Vrijeme poluraspada \(T\) je vrijeme nakon kojega se raspadne polovina radioaktivnih jezgri. Nakon \(2\,T\) raspast će se još polovina preostalih jezgri, odnosno četvrtina od početnog broja i nakon \(3\,T\) raspast će se polovina od preostalog broja jezgri ili jedna osmina od početnog broja. Prema tome, ukupno se raspalo \(1/2+1/4+1/8=7/8\) početnog broja jezgri pa je preostalo \(N/8=1,25\cdot 10^{5}\) jezgri.

Kako nazivamo gibanje kod kojega se brzina tijekom vremena jednoliko povećava? Kako izgleda graf akceleracije za to gibanje?

Radi se o jednoliko ubrzanom gibanju. Graf akceleracije je pravac paralelan s osi \(t\).

Kako je definirana korisnost toplinskog stroja? Kojim se izrazom može prikazati?

Korisnost toplinskog stroja definirana je kao \[\eta =\frac{T_{\small{\textrm{A}}}-T_{\small{\textrm{B}}}}{T_{\small{\textrm{A}}}}\] Vidimo da je ona to veća što je razlika temperatura između toplijeg i hladnijeg spremnika veća. Ako temperaturu hladnijeg spremnika smanjimo, ta će razlika biti veća, pa će i korisnost biti veća.
Napomena Navedeni izraz za korisnost vrijedi samo za Carnotov stroj.

Može li se dijeljenjem jednog magneta dobiti magnet koji ima dva jednaka pola?

Dijeljenjem magneta na dva dijela uvijek dobijemo dva magneta od kojih svaki ima sjeverni i južni pol.

Impuls stalne sile definiramo kao umnožak sile i intervala vremena u kojemu je sila djelovala. Kako ga možemo izračunati ako sila nije stalna?

Ukoliko se sila tijekom vremena mijenja linearno onda možemo uzeti srednju silu i pomnožiti ju s intervalom vremena tijekom kojega je djelovala: \[\bar{F}\cdot \Delta t=\frac{F}{2}\cdot \Delta t=1\cdot 5=5\,\textrm{N}\,\textrm{s}\] Zadatak možemo riješiti i tako da odredimo površinu ispod grafa sile: \[p=\frac{2\cdot 5}{2}=5\,\textrm{Ns}\]

O kakvom se ovdje gibanju radi? Primijenite odgovarajuću izraze koji povezuju akceleraciju i brzinu.

Brzina tijela ne mijenja orijentaciju i smanjuje se pa je gibanje jednoliko usporeno. Iz izraza \[v^{2}=v{_{0}}^{2}-2as\] odredimo akceleraciju. (Kod jednoliko usporenog gibanja trenutna i srednja akceleracija su jednake.) \[a=\frac{v{_{0}}^{2}-v^{2}}{2s}=3\, \frac{\textrm{m}}{\textrm{s}^{2}}\] Napomena: To je iznos akceleracije. Kod jednoliko usporenog gibanja akceleracija je po orijentaciji suprotna orijentaciji brzine. Ako je brzina pozitivna, akceleracija je negativna.

Čemu je jednaka srednja kinetička energija molekula jednoatomnog idealnog plina? Napšite izraz i izračunajte apsolutnu (ili termodinamičku) temperaturu.

Srednja kinetička energija nasumičnoga gibanja čestica jednoatomnoga idealnog plina jednaka je \[\overline{E}_{k}=\frac{3}{2}kT\] Vrijednost Boltzmannove konstante pronađite u knjižici formula, dok je \(T\) termodinamička temperatura plina. Za termodinamičku temperaturu dobijemo \[T=\frac{2\overline{E}_{\textrm{k}}}{3k}=2898,6\, \textrm{K}\]

Kojim se izrazom može prikazati električna sila između dva točkasta naboja? Primijenite to na oba slučaja i izračunajte novu udaljenost.

Električna sila između naboja \(Q_{1}\) i \(Q_{2}\) iznosi \[F=k\frac{Q_{1}\cdot Q_{2}}{r^{2}}\] Prema zadatku, jednaka sila djeluje i između naboja \(Q_{1}\) i \(2\,Q\). Traženu udaljenost označimo s \(r_{1}\). \[F=k\frac{Q_{1}\cdot 2Q}{r_{1}^{2}}\] Ako izjednačimo desne strane i skratimo \(k\), \(Q_{1}\) i \(Q_{2}\), dobijemo jednadžbu \frac{1}{r^{2}}=\frac{2}{r_{1}^{2}} Tražena udaljenost je \[r_{1}=\sqrt{2}\cdot r=0,141\, \textrm{m}\]

Ako na optičku rešetku pada svjetlost, dolazi do difrakcije. Iz kojeg izraza možemo odrediti konstantu optičke rešetke?

Konstanta optičke rešetke \(d\), kut pod kojim vidimo neki spektar \(\alpha\), redni broj spektra \(k\) i valna duljina upadne svjetlosti \(\lambda\) povezani su izrazom \[d\cdot \textrm{sin}\, \alpha =k\lambda\] Za konstantu optičke rešetke dobovamo \[d=\frac{k\lambda }{\textrm{sin}\,\alpha}=\frac{5\cdot 5\cdot 10^{\mathbf{-}7}}{0,5}=5\cdot 10^{\mathbf{-}6}\, \textrm{m}\]

Prema Bohru, do zračenja elektromagnetskih valova dolazi kada atom prelazi iz višeg energetskog nivoa u niži. Čemu je jednaka energija fotona koji se pri tom emitira? Kako energija fotona ovisi o frekvenciji?

Energija fotona elektromagnetskog zračenja jednaka je \[E_{\textrm{f}}=h\cdot \nu\] Vrijednost Planckove konstante \(h\) potražite u knjižici formula.
Ovaj foton nastaje kada atom prelazi iz prvog pobuđenog stanja u osnovno pa vrijedi \[E_{\textrm{f}}=E_{2}-E_{1}\]

Izjednačimo desne strane ovih jednadžbi i izračunajmo frekvenciju \[\nu =\frac{E_{2}-E_{1}}{h}=2,5\cdot 10^{15}\,\textrm{Hz}\]

Koje sve sile u vertikalnom smjeru djeluju na automobil u najvišoj točki? Kolika je ukupna sila? Koja je njezina orijentacija?

Na automobil djeluje sila teža \(F_{g}\) vertikalno prema dolje i reakcija podloge \(N\) vertikalno prema gore. Sila teža po iznosu je veća od reakcije podloge jer ukupna sila mora imati smjer prema središtu zakrivljenosti mosta \[F_{g} > N\]

Ukupna sila \(F_{g}-N\) ima ulogu centripetalne sile. \[F_{g}-N=m\cdot \frac{v^{2}}{R}\] Za reakciju podloge dobivamo \[N=F_{g}-m\cdot \frac{v^{2}}{R}\] Nakon što jednadžbu pojednostavimo, dobivamo \[N=m\left ( g-\frac{v^{2}}{R} \right )\] Uvrstimo podatke i izračunajmo \[N=5000\,\textrm{N}\] Napomena: Izračunali smo silu kojom most djeluje na automobil. Prema 3. Newtonovom zakonu tolikom silom i automobil djeluje na most.

Kojom se jednadžbom opisuje izobarno tlačenje plina? Koliki rad pri tome okolina okolina? Iz te dvije jednadžbe možete odrediti konačnu temperaturu plina.

Izobarna promjena stanja plina opisuje se jednadžbom \[\frac{V_{1}}{T_{1}}=\frac{V_{2}}{T_{2}}\] Rad plina je negativan: \(W=\mathbf{-}20\,\textrm{J}\).
\[W=P\left ( V_{2}-V_{1} \right )\] Početni volumen jednak je: \[V_{1}=V_{2}-\frac{W}{P}=10^{\mathbf{-}3}\, \textrm{m}^{3}\] Odredimo temperaturu plina nakon tlačenja iz prve jednadžbe \[T_{2}=\frac{V_{2}\,T_{1}}{V_{1}}=270\, \textrm{K}\]

Masu odredimo pomoću gustoće i volumena žice, volumen žice preko duljine i površine poprečnog presjeka, a površinu presjeka pomoću zakona električnog otpora.

Masu žice odredimo kao \[m=\rho_{m}\,V\] \[V = \ell S\] Iz zakona električnog otpora \[R=\rho \frac{\ell}{S}\] odredimo površinu presjeka žice \[S=\frac{\rho \ell}{R}\] Za masu žice dobivamo \[m=\frac{\rho _{m}\,\rho\, \ell^{2}\,}{R}=151\,\textrm{kg}\]

Napišite jednadžbe za elongaciju i brzinu kod harmonijskog titranja i pomoću njih riješite zadatak.

Jednadžba za elongaciju tijela koje harmonijski titra: \[y=y_{0}\, \textrm{sin}\, \omega t\] Jednadžba za brzinu tijela koje harmonijski titra: \[v=v_{0}\, \textrm{cos}\, \omega t=\omega \, y_{0}\, \textrm{cos}\, \omega t\] Iz prve jednadžbe dobijemo \[\textrm{sin}\, \omega t=\frac{y}{y_{0}}=\frac{0,05}{0,1}=0,5\] Odredimo \(\omega\,t\) \[\omega t=\frac{\pi }{6}\] Pomoću konstante elastičnosti odredimo \(\omega\) \[k=m\omega ^{2}\Rightarrow \omega =\sqrt{\frac{k}{m}}\] Sada možemo odrediti traženu brzinu \[v=\omega\, y_{0}\, \textrm{cos}\, \omega t=\sqrt{\frac{k}{m}}\,y_{0}\, \textrm{cos}\, \omega t\] \[v=\sqrt{\frac{80}{0,2}}\cdot 0,1\cdot \textrm{cos}\, \frac{\pi }{6}=\sqrt{3}=1,73 \, \frac{\textrm{m}}{\textrm{s}}\]

Pretpostavimo da ploča zrači kao apsolutno crno tijelo i primijenimo Stefan-Boltzmannov zakon zračenja crnoga tijela.

Snaga zračenja jednaka je energiji koju ploča zrači u jednoj sekundi. \[P=\frac{E}{t}\] Prema Stefan-Boltzmannovom zakonu snaga zračenja je \[P=\sigma\,S\,T^{4}\] Površina kružne ploče je \[S=r^{2}\pi\] pri čemu je polumjer kružne ploče jednak \(0,05\, \textrm{m}\). Koristeći prethodno napisane izraze, za temperaturu kružne ploče dobivamo \[T=\sqrt[4]{\frac{E}{\sigma r^{2}\pi t}}=688\,\textrm{K}\]