Teorijske osnove

Ovaj zadatak provjerava tvoje razumijevanje zakona očuvanja u fizici, konkretno u kontekstu sudara tijela. Ključno je razlikovati količinu gibanja i kinetičku energiju, te znati što se događa s njima tijekom različitih vrsta sudara.

Količina gibanja (impuls)

Znak za količinu gibanja je \(p\). Količina gibanja je vektorska fizikalna veličina koja je jednaka umnošku mase tijela \(m\) i njegove brzine \(v.\) $$p=m\,v$$ Jedinica je kilogram metar u sekundi (kg m/s).

Zakon očuvanja količine gibanja

U zatvorenom sustavu (sustav na koji ne djeluju vanjske sile ili je njihova rezultanta jednaka nuli), ukupna količina gibanja sustava ostaje konstantna prije, tijekom i poslije sudara, bez obzira na vrstu unutarnjih sila koje djeluju tijekom sudara. $$p_\text{1,prije}+p_\text{2,prije}+p_\text{3,prije}+...=p_\text{1,poslije}+p_\text{2,poslije}+p_\text{3,poslije}+...$$

Kinetička energija

Znak za kinetičku energiju je $E_\text{k}$. Kinetička energija je skalarna fizikalna veličina koja opisuje energiju koju tijelo posjeduje zbog svog gibanja. $$E_\text{k}=\frac{1}{2}m\,v^2$$ \(m\) je masa tijela, a $v$ njegova brzina. Jedinica je džul (J).

Elastični sudar

Sudar u kojem su očuvane i ukupna količina gibanja i ukupna kinetička energija sustava. To znači da se ukupna kinetička energija sustava prije sudara potpuno pretvara u ukupnu kinetičku energiju sustava poslije sudara, bez pretvorbi u druge oblike energije (npr. toplinu, zvuk, deformaciju). U stvarnosti, potpuno elastični sudari su rijetki.

Neelastični sudar

Sudar u kojem je očuvana ukupna količina gibanja, ali ukupna kinetička energija sustava nije očuvana. Dio kinetičke energije se tijekom sudara pretvara u druge oblike energije, kao što su toplina, zvuk, ili energija potrebna za trajnu deformaciju tijela. U krajnjem slučaju, nakon neelastičnog sudara, tijela se mogu spojiti i gibati zajedno (tzv. potpuno neelastični sudar).

Zadatak jasno navodi da se radi o neelastičnom sudaru u zatvorenom sustavu.

Provjera očuvanja količine gibanja

Kao što smo spomenuli u teoriji, zakon očuvanja količine gibanja vrijedi za sve vrste sudara u zatvorenom sustavu, pa tako i za neelastične sudare. Ukupna količina gibanja sustava prije sudara jednaka je ukupnoj količini gibanja sustava poslije sudara. Dakle, ukupna količina gibanja je očuvana.
Definicija neelastičnog sudara podrazumijeva da se dio ukupne kinetičke energije pretvara u druge oblike energije (toplinu, zvuk, deformaciju). To znači da ukupna kinetička energija sustava nije očuvana u neelastičnom sudaru; ukupna kinetička energija nakon sudara manja je od ukupne kinetičke energije prije sudara.

Zaključak

Na temelju navedenih informacija:

• Ukupna količina gibanja je očuvana.
• Ukupna kinetička energija nije očuvana.

To odgovara tvrdnji: A. Očuvana je samo ukupna količina gibanja.

Teorijske osnove

Rad je jednak promjeni mehaničke energije: $$W=E_2-E_1=E_\text{k,2}+E_\text{p,2}-\left(E_\text{k,1}+E_\text{p,1}\right)$$ U oba slučaja tijelo se giba jednoliko pa se kinetička energija ne mijenja: $E_\text{k,2}=E_\text{k,1}$.
Zbog toga je rad jednak promjeni potencijalne energije: $$W=E_\text{p,2}-E_\text{p,1}$$

Potencijalna energija

Gravitacijska potencijalna energija je energija koju tijelo posjeduje zbog svog položaja u gravitacijskom polju. Znak za potencijalnu energiju je $E_\text{P}$: $$E_\text{P}=m\,g\,h$$ gdje je $m$ masa, $g$ gravitacijsko ubrzanje, a $h$ visina.

Sile na kosini

Kada je tijelo na kosini, silu težu $m\,g$ rastavljamo na dvije komponente:

• Komponenta paralelna kosini, koja teži povući tijelo niz kosinu: $F_\text{gx}=m\,g\,\text{sin}\,\alpha$
• Komponenta okomita na kosinu: $F_\text{gy}=m\,g\,\text{cos}\,\alpha$, koja je jednaka pritisku na podlogu.

Da bi se tijelo guralo jednoliko uz kosinu (bez ubrzanja), vanjska sila $F_\text{v}$ mora po iznosu biti jednaka komponenti sile teže koja djeluje niz kosinu (ako nema trenja): $F_\text{gx}$.

U slučaju A tijelo podižemo vertikalno prema gore pa je rad jednak: $$W_\text{A}=m\,g\,h-0=m\,g\,h$$

Kinetička energija i u slučaju B je konstanta zbog jednolikog gibanja pa je rad jednak promjeni potencijalne energije: $$W_\text{B}=m\,g\,h-0=m\,g\,h$$

Prema tome: $$W_\text{A}=W_\text{B}$$

Sile pri podizanju i povlačenju

U slučaju A, pri jednolikom podizanju vertikalno prema gore, svladavamo silu težu: $$F_\text{A}=m\,g$$ U slučaju B tijelo vučemo prema vrhu kosine silom koja je jednaka komponenti sile teže u smjeru kosine: $$F_\text{v}=F_\text{gx}$$ $$F_\text{B}=m\,g\,\text{sin}\,\alpha$$

Zaključak

$$F_\text{A} > F_\text{B}$$ Točan odgovor je D.

Teorijske osnove

Ovaj zadatak ti omogućuje da razjasniš zašto astronauti "lebde" u svemirskoj postaji i što se zapravo događa sa silama koje djeluju na njih. Ključni pojmovi su gravitacijska sila, kružno gibanje i koncept bestežinskog stanja.

Gravitacijska sila

Znak za gravitacijsku silu je $F_\text{g}$ Gravitacijska sila je privlačna sila koja djeluje između svih tijela koja imaju masu. Prema Newtonovom zakonu gravitacije, ona je proporcionalna umnošku masa tijela i obrnuto proporcionalna kvadratu udaljenosti između njihovih središta. $$F_\text{g}=G\frac{M\,m}{r^2}$$ gdje je $G$ gravitacijska konstanta, $M$ masa Zemlje, $m$ masa astronauta ili svemirske postaje, i $r$ udaljenost između njihovih središta. Važno je zapamtiti da gravitacija nije jednaka nuli u orbiti! Ona se samo smanjuje s povećanjem udaljenosti od Zemlje. Astronauti u Međunarodnoj svemirskoj postaji (ISS) su i dalje pod utjecajem oko 90% gravitacije koju bi osjećali na površini Zemlje!

Kružno gibanje

Kada se tijelo giba po kružnoj putanji (kao svemirska postaja oko Zemlje), mora postojati centripetalna sila koja ga vuče prema središtu kružnice. Bez te sile, tijelo bi se gibalo tangencijalno (ravno naprijed), odnosno odletjelo bi u svemir. Centripetalna sila je rezultantna sila koja uzrokuje centripetalno ubrzanje. $$F_\text{c}=m\,a_\text{c}$$ $$F_\text{c}=\frac{m\,v^2}{r}$$ gdje je $v$ brzina, a $r$ polumjer kružne putanje.

Bestežinsko stanje

Astronauti unutar svemirske postaje nisu u stanju "nulte gravitacije", već su u stanju stalnog slobodnog pada zajedno sa svemirskom postajom. Oni "padaju" oko Zemlje, ne prema njoj. Gravitacijska sila ih vuče prema Zemlji, ali zbog velike horizontalne brzine, oni kontinuirano promašuju Zemlju i ostaju u orbiti. To je isto kao kad bi se dizalo u kojem stojite prekinulo i padalo – unutar tog dizala biste se osjećali bestežinski. Dakle, bestežinsko stanje je posljedica toga što gravitacijska sila daje i astronautu i postaji jednako ubrzanje.

1. Astronauti kruže oko Zemlje: Svemirska postaja i astronauti unutar nje kreću se po približno kružnoj putanji oko Zemlje.
2. Na svako tijelo koje se giba po kružnoj putanji mora djelovati rezultantna sila koja je usmjerena prema središtu kružnice. Ta sila se naziva centripetalna sila. U slučaju satelita i astronauta u orbiti, tu centripetalnu silu osigurava gravitacijska sila Zemlje.
3. Gravitacijska sila Zemlje djeluje na astronaute. Kada bi bila jednaka nuli, oni ne bi kružili oko Zemlje, već bi odletjeli u tangencijalnom smjeru na svoju putanju (kružnicu).
4. Gravitacijska sila (koja je u ovom slučaju rezultantna sila jer nema drugih značajnih sila koje bi utjecale na gibanje) uvijek je usmjerena prema središtu tijela koje privlači, dakle, prema središtu Zemlje.
5. Brzina kruženja (tangencijalna brzina) astronauta i postaje je u svakom trenutku tangencijalna na putanju, odnosno okomita na polumjer (dužinu koja spaja astronaute i središte Zemlje). Budući da je rezultantna sila (gravitacija) usmjerena duž polumjera prema središtu, ona je okomita na brzinu kruženja.

Zaključak

Na temelju analize:

• Rezultantna sila na astronaute nije nula.
• Rezultantna sila (gravitacijska sila) je usmjerena prema središtu Zemlje, a ne u smjeru brzine kruženja.
• Budući da je brzina kruženja tangencijalna na putanju, a gravitacijska sila radijalna (prema središtu), one su međusobno okomite.

To odgovara opciji D. Okomita je na brzinu kruženja svemirske postaje i ima orijentaciju prema središtu Zemlje.

Teorijske osnove

Ovaj zadatak se odnosi na koncept hidrostatičkog tlaka, temeljnog pojma u mehanici fluida.

Tlak je sila koja djeluje okomito na jedinicu površine. Hidrostatički tlak je tlak unutar fluida u mirovanju (npr. vode u spremniku) koji nastaje zbog težine samog fluida iznad određene dubine.
Hidrostatički tlak prikazujemo izrazom: $$p=\rho\,g\,h$$ gdje je:

• $p$ - hidrostatički tlak (jedinica: paskal, Pa)
• $\rho$ - gustoća fluida (jedinica: $\text{kg}/\text{m}^3$)
• $g$ - ubrzanje sile teže (gravitacijsko ubrzanje, približno 10 $\text{m}/\text{s}^2$)
• $h$ - dubina točke u fluidu, mjerena od slobodne površine fluida (odnosno od razine fluida do promatrane točke).

Važne napomene o $h$: Vrlo je bitno da $h$ u formuli za hidrostatički tlak predstavlja dubinu, a ne visinu od dna. Što je veća dubina, to je veći tlak. Tlak je isti u svim točkama iste dubine u istom fluidu.

Zadana je visina spremnika i položaje točaka A i B u odnosu na dno. Spremnik je napunjen vodom do vrha.

• Visina spremnika: $H=6\,\text{m}$
• Gustoća vode: $\rho$
• Gravitacijsko ubrzanje: $g$

Dubina točke A

Točka A nalazi se 1 m iznad dna spremnika. Ukupna visina vode je 6 m.
Dubina točke A, mjerena od slobodne površine (vrha) vode, iznosi:
$h_\text{A}=6\,\text{m}-1\,\text{m}$
$h_\text{A}=5\,\text{m}$

Hidrostatski tlak u točki A

$p_\text{A}=\rho\,g\,h_\text{A}$
$p_\text{A}=5\,\rho\,g$

Dubina točke B

Točka B nalazi se 2 m iznad dna spremnika. Ukupna visina vode je 6 m.
Dubina točke B, mjerena od slobodne površine (vrha) vode, iznosi:
$h_\text{B}=6\,\text{m}-2\,\text{m}$
$h_\text{B}=4\,\text{m}$

Hidrostatski tlak u točki B

$p_\text{B}=\rho\,g\,h_\text{B}$
$p_\text{B}=4\,\rho\,g$

Uspoređivanje tlakova

$$\frac{p_\text{A}}{p_\text{B}}=\frac{5\,\rho\,g}{4\,\rho\,g}$$ $$\frac{p_\text{A}}{p_\text{B}}=\frac{5}{4}$$ $$4\,p_\text{A}=5\,p_\text{B}$$

Zaključak

Pronašli smo da za hidrostatičke tlakove u točkama A i B vrijedi: $$4\,p_\text{A}=5\,p_\text{B}$$ To odgovora odgoru D.

Teorijske osnove

Ovaj zadatak temelji se na konceptu toplinskog rastezanja (ekspanzije), što je promjena dimenzija tijela uzrokovana promjenom temperature.

• Toplinsko širenje
  Većina tvari se širi kada se zagrijava i skuplja kada se hladi. Razlog tome je povećanje kinetičke energije čestica (atoma ili molekula) unutar materijala. Kada se čestice više gibaju, prosječna udaljenost između njih se povećava, što rezultira povećanjem ukupnih dimenzija tijela.
  Za određivanje duljine žice, površine ploče ili volumena tijela pri temperaturi $t$, kada su poznate njihove vrijednosti pri početnoj temperaturi $t_0$, koristi se toplinsko širenje čvrstih tijela. Ovisi o vrsti promjene (duljina, površina, volumen) i koeficijentu linearnog širenja $\alpha$ materijala. Evo kako se to radi za svaki slučaj:
  • Linearno toplinsko širenje $$\ell=\ell_{0}\left (1+\alpha\left(t-t_0\right)\right)$$
    • $\ell_0$: početna duljina žice na temperaturi $t_0$
    • $\alpha$: koeficijent linearnog toplinskog širenja materijala
    • $t-t_0$: promjena temperature
  • Površinsko toplinsko širenje $$S=S_{0}\left (1+\beta\left(t-t_0\right)\right)$$
    • $S_0$: početna površina na temperaturi $t_0$
    • Površina se mijenja s kvadratom linearne promjene, pa je $\beta\approx 2\,\alpha$ $$S=S_{0}\left (1+2\,\alpha\left(t-t_0\right)\right)$$
  • Volumno toplinsko širenje $$V=V_{0}\left (1+\gamma\left(t-t_0\right)\right)$$
    • $V_0$: početni volumen na temperaturi $t_0$
    • Volumen se mijenja s kubom linearne promjene, pa je $\gamma\approx 3\,\alpha$
      $S=S_{0}\left (1+3\,\alpha\left(t-t_0\right)\right)$

Napomene

1. Koeficijent $\alpha$
   Ovisi o materijalu.
   U sve tri formule koristite isti $\alpha$
2. Pretpostavke
   Materijal je izotropan (širi se jednako u svim smjerovima).
   Promjena temperature nije prevelika (inače se koriste točnije formule).
3. Zaštita od pogrešaka
   Temperatura $t$ i $t_0$ mogu biti u $^o\,\text{C}$ ili u K, jer je $\Delta t=t-t_0$$ jednaka u obje skale.
4. Pazite na predznak: ako je $t < t_0$ tjelo se skuplja jer je $\ell < \ell_0.$

Zaključak

• Duljina: $\ell=\ell_{0}\left (1+\alpha\,\Delta t\right)$
• Površina: $S=S_{0}\left (1+2\,\alpha\,\Delta t\right)$
• Volumen: $V=V_{0}\left (1+3\,\alpha\,\Delta t\right)$
• U sve tri formule: $\Delta t=t-t_0$

Većina tvari se širi kada se zagrijava i skuplja kada se hladi. Razlog tome je povećanje kinetičke energije čestica (atoma ili molekula) unutar materijala. Kada se čestice više gibaju, prosječna udaljenost između njih se povećava, što rezultira povećanjem ukupnih dimenzija tijela.

Zagrijavanjem prstena širi se njegov vanjski i unutarnji promjer, a to znači da se povećava otvor ("rupa") prstena, dok se hlađenjem smanjuje.
Zagrijavanjem kuglice njezin se volumen povećava, a hlađenjem smanjuje.

• Početna situacija: bakrena kuglica može proći kroz bakreni prsten. To znači da je promjer kuglice manji od unutarnjeg promjera prstena.
• Nastavnik zagrije bakrenu kuglicu: kuglica više ne može proći kroz prsten. To znači da se zagrijavanjem bakrene kuglice njezin promjer povećao, tako da je sada veći od unutarnjeg promjera prstena.
• Cilj je da bakrena kuglica ponovno prođe kroz prsten: To znači da želimo postići stanje u kojem je promjer kuglice manji od unutarnjeg promjera prstena.

Zaključak

Kuglicu treba ohladiti kako bi joj se volumen smanjio ili prsten zagrijati kako bi se otvor prstena povećao.
Zaključujemo da je točan odgovor C.

Teorijske osnove

Ovaj zadatak se temelji na jednadžbi stanja idealnog plina i konceptu mola te molarne mase.

• Idealni plin
  Idealni plin teorijski je model plina koji se sastoji od velikog broja identičnih, nasumično gibajućih čestica (atoma ili molekula) koje međusobno ne djeluju osim pri elastičnim sudarima. Nema međumolekulskih sila, a volumen samih čestica je zanemariv u usporedbi s volumenom posude. Iako idealni plin ne postoji u prirodi, mnogi se stvarni plinovi (npr. zrak, vodik, helij) ponašaju kao idealni plinovi pri uobičajenim tlakovima i temperaturama.
• Jednadžba stanja idealnog plina
  Ova jednadžba povezuje tlak, volumen, temperaturu i količinu tvari idealnog plina. $$p\,V=n\,R\,T$$
  • $p$ – tlak plina (jedinica: paskal, Pa)
  • $V$ – volumen plina (jedinica: kubični metar, $m^3$
  • $n$ – količina tvari (broj molova) (jedinica: mol, mol)
  • $R$ – univerzalna plinska konstanta (8,314 J/(mol K))
  • $T$ – apsolutna temperatura plina (jedinica: kelvin, K)

Količina tvari (broj molova, n)
Broj molova tvari povezan je s masom tvari $m$ i njezinom molarnom masom $M$ sljedećom formulom: $$n=\frac{m}{M}$$

• $m$ – masa plina (jedinica: kilogram, kg ili gram, g)
• $M$ – molarna masa plina (masa jednog mola tvari) (jedinica: kg/mol ili g/mol)

Zadatak nam daje informacije o dva idealna plina u posudama. Zapišimo poznate odnose:

• Volumeni su jednaki: $V_1=V_2$
• Tlakovi su jednaki: $p_1=p_2$
• Temperature su jednake: $T_1=T_2$
• Molarna masa drugog plina dva puta je manja od molarne mase prvog plina: $M_2=0,5\,M_1$

Cilj nam je pronaći odnos između masa $m_1$ i $m_2.$

Zapišimo jednadžbu stanja za svaki plin:

$$p_1\,V_1=n_1\,R\,T_1$$ $$p_2\,V_2=n_2\,R\,T_2$$

Izrazimo broj molova $n$ preko mase plina $m$ i molarne mase $M$:

$$n_1=\frac{m_1}{M_1}$$ $$n_2=\frac{m_2}{M_2}$$

Uvrstimo izraze za $n_1$ i $n_2$ u jednadžbe stanja idealnog plina:

$$p_1\,V_1=\frac{m_1}{M_1}\,R\,T_1$$ $$p_2\,V_2=\frac{m_2}{M_2}\,R\,T_2$$

Iskoristimo uvjete iz zadatka kako bismo pojednostavili jednadžbe:

Budući da je $p_1=p_2$, $V_1=V_2$ i $T_1=T_2$, možemo zaključiti da su lijeve strane prethodnih jednadžbi jednake, a to znači da i desne strane moraju biti jednake: $$\frac{m_1}{M_1}\,R\,T_1=\frac{m_2}{M_2}\,R\,T_2$$ Iz ove jednadžbe slijedi: $$\frac{m_1}{M_1}=\frac{m_2}{M_2}$$ Uzmimo u obzir da je $M_2 = 0,5\, M_1$ pa dobijemo: $$\frac{m_1}{M_1}=\frac{m_2}{0,5\,M_1}$$ Odredimo $m_2$: $$m_2=0,5\,m_1$$ ili u obliku razlomka: $$m_2=\frac{m_1}{2}$$ Točan rezultat je A.

Teorijske osnove

Ovaj zadatak zahtijeva razumijevanje veze između stanja idealnog plina i njegove unutarnje energije, promatrane na $p,V$ grafu.

Unutarnja energija

Unutarnja energija sustava, $U$, je ukupna energija svih čestica koje čine sustav. Za idealni plin, unutarnja energija ovisi isključivo o temperaturi plina. To znači da ako su temperature dva stanja idealnog plina jednake, tada su i njihove unutarnje energije jednake.
Unutarnja energija jednoatomnog idealnog plina jednaka je: $$U=\frac{3}{2}\,n\,R\,T$$ Unutarnja energija dvoatomnog idealnog jednaka je: $$U=\frac{5}{2}\,n\,R\,T$$

Za ovaj je zadatak zgodno te formule povezati s jednadžbom stanja idealnog plina: $$p\,V=n\,R\,T$$ pa za unutarnju energiju jednoatomnog i dvoatomnog idealnog plina dobivamo: $$U=\frac{3}{2}\,p\,V$$ $$U=\frac{5}{2}\,p\,V$$ Zaključujemo da je unutarnja energija proporcionalna umnošku tlaka i volumena: $$U\propto p\,V$$ Ako želimo usporediti unutarnje energije $U$, dovoljno je usporediti umnoške $p\,V$ za svako stanje.

Promatrat ćemo $p\,V$ graf i očitati koordinate tlaka i volumena za svaku točku (stanje) procesa. Prvo ćemo dodijeliti jedinične vrijednosti oznakama na osima radi lakšeg očitavanja: neka je najmanja jedinica na osi $p$ "$1\,p$" i na osi $V$ "$1\,V$".

Stanje 1

$$U_1\propto p_1\,V_1$$ $$U_1\propto 1\times 1$$ $$U_1\propto 1$$

Stanje 2

$$U_2\propto p_2\,V_2$$ $$U_2\propto 1\times 5 $$ $$U_2\propto 5$$

Stanje 3

$$U_3\propto p_3\,V_3$$ $$U_3\propto 5\times 5$$ $$U_3\propto 25$$

Zaključak

Očitavanjem tlaka i volumena u stanjima 1, 2 i 3, zaključili smo da je: $$U_1 < U_2 < U_3$$ Točan odgovor je C.

Teorijske osnove

Ovaj zadatak provjerava tvoje razumijevanje Prvog zakona termodinamike i specifičnosti izohornog procesa.

• Prvi zakon termodinamike
  Ovo je zakon očuvanja energije primijenjen na termodinamičke sustave. On kaže da je promjena unutarnje energije sustava $\Delta U$ jednaka razlici između topline $Q$ dovedene sustavu i rada $W$ koji sustav obavi nad okolinom. $$\Delta U=Q-W$$
  • $\Delta U$: Promjena unutarnje energije. Pozitivna ako se unutarnja energija povećava, negativna ako se smanjuje.
  • $Q$: Toplina. Pozitivna ako se toplina dovodi sustavu, negativna ako sustav oslobađa (predaje) toplinu.
  • $W$: Rad plina
    
    • Ako se volumen plina povećava, $\Delta V > 0$, plin obavlja rad i rad je pozitivan, $W > 0$.
    • Ako se volumen plina smanjuje, $\Delta V < 0$, okolina obavlja rad na plinu i rad je negativan $W < 0$.

Ako se volumen plina ne mijenja, $\Delta V=0$, plin ne obavlja rad $W = 0$.

U zadatku se navodi da je proces izohoran, $W = 0$, a to znači da plin ne obavlja rad: $W = 0$
Primijenom prvog zakona termodinamike: $\Delta U=Q-W$
zaključujemo da je plinu dovedena toplina: $Q = W + \Delta U$
$Q = 0 + 500\,\text{J}$
$Q = 500\,\text{J}$

Zaključak

$Q = 500\,\text{J}$
$W = 0$

Točan odgovor je D.

Teorijske osnove

Točkasti naboj u svim točkama oko sebe stvara električno polje. Iznos električnog polja točkastog naboja jednak je: \[E=k\,\frac{q}{r^{2}}\] Vrijednost Coulombove konstante $k$ približno je jednaka: $k=9\cdot 10^9\,\text{N}\,\text{m}^2\,\text{C}^{-2}.$
Kažemo da je naboj $q$ izvor električnog polja.

Električno polje je vektorska veličina, što znači da moramo poznavati iznos, smjer i orijentaciju polja.
Smjer električnog polja jednak je pravcu koji prolazi kroz naboj i točku T, a orijentacija je jednaka orijentaciji sile koja bi djelovala na pozitivni naboj smješten u toj točki.

Električno polje sfere

U bilo kojoj točki unutar metalne sfere (šuplje kugle) električno polje jednako je nuli.
Na površini sfere električno polje jednako je: \[E=k\,\frac{q}{R^2}\] gdje je $R$ polumjer sfere, a $q$ naboj sfere.
U točkama izvan sfere na udaljenosti $r$ od središta električno polje jednako je: \[E=k\,\frac{q}{r^2}\]

Vektorsko zbrajanje polja

Ako imamo dva točkasta naboja, svaki od njih stvara svoje polje: $$E_1=k\,\frac{q_1}{r_1^2}$$ $$E_2=k\,\frac{q_2}{r_2^2}$$ Rezultantno polje $E$ dobijemo vektorskim zbrajanjem polja $E_1$ i $E_2$

Iznos rezultantnog polja dobijemo tako da od većeg iznosa oduzmemo manji. Smjer rezultantnog polja jednak je smjeru vektora većeg iznosa.

Oba naboja stvaraju električno polje: $$E_\text{a}=k\,\frac{q}{a^2}$$ $$E_\text{b}=k\,\frac{9\,q}{b^2}$$

Električno polje bit će jednako nuli u točki u kojoj su polja jednaka po iznosu, a suprotna po orijentaciji: $$\vec{E_\text{a}}=-\vec{E_\text{b}}\Rightarrow \vec{E}=\vec{0}$$ U točki $\text{T}_2$ električno polje naboja $9\,q$ devet puta je veće od električnog polja naboja $q$.
U točki $\text{T}_3$ još je i veće. Jedina točka koja je rješenje je točka $\text{T}_1$.

Provjerimo to strogo matematički: $$E_\text{a}=k\,\frac{q}{d^2}$$ $$E_\text{b}=k\,\frac{9\,q}{\left(3d\right)^2}$$ $$E_\text{b}=k\,\frac{9\,q}{9\,d^2}$$ Prema tome, u točki $\text{T}_1$ vrijedi: $$E_\text{a}=E_\text{b}$$ Iznosi polja su jednaki, a orijentacije suprotne. Rezultantno električno polje jednako je nuli.
Točan je odgovor A.

Teorijske osnove

Električno polje stvaraju električni naboji. Za opis električnog polja, koje je vektorska veličina, potrebno je poznavati iznos, smjer i orijentaciju. $$\vec{E}=\frac{\vec{F}}{q}$$ Električno polje naboja $q$ u nekoj točki jednako je, po iznosu, smjeru i orijentaciji, sili koja bi djelovala na pozitivni jedinični naboj, smješten u toj točki.

Električno polje djeluje na elektron silom iznosa: $$F_\text{el}=e\,E$$ Električno polje je homogeno (pretpostavka koja nije navedena) pa je iznos polja jednak: $$E=\frac{U}{s}$$ Sila kojom električno polje djeluje na elektron jednaka je: $$F_\text{el}=e\frac{U}{s}$$ Ta je sila uzrok ubrzanja elektrona.

Primjenimo temeljni zakon gibanja: $$F_\text{el}=m_\text{e}\,a$$ Akceleracija elektrona je: $$a=\frac{F_\text{el}}{m_\text{e}}$$

Rješenje

Pokazali smo da je: $$F_\text{el}=e\frac{U}{s}$$ $$a=\frac{F_\text{el}}{m_\text{e}}$$ Akceleracija je jednaka: $$a=e\frac{U}{s}\cdot\frac{1}{m_\text{e}}$$ $$a=\frac{e\,U}{m_\text{e}\,s}$$ Točan odgovor je B.

Električna potencijalna energija kondenzatora jednaka je radu nabijanja kondenzatora: \[W=\frac{1}{2}Q\,U\] Zbog smanjenja napona između ploča kondenzatora, smanjila se i njegova električna potencijalna energija.
Točan odgovor je B.

Teorijske osnove

Ovaj se zadatak rješava Ohmovim zakonom, koji opisuje vezu između napona, struje i otpora u krugu struje.

Ohmov zakon: Za jednostavan strujni krug, Ohmov zakon kaže da je struja $I$ koja prolazi kroz vodič proporcionalna naponu $U$ na krajevima vodiča i obrnuto proporcionalna električnom otporu $R$ tog vodiča: $$I=\frac{U}{R}$$

Iz Ohmovog zakona: $$I=\frac{U}{R}$$ zaključujemo:

1. Struja se povećava ako se povećava napon, a otpor je konstantan.
2. Struja se povećava ako se smanjuje otpor, a napon je konstantan.
3. Struja se povećava ako se povećava napon i smanjuje otpor.

Točan odgovor je B.

Teorijske osnove

Magnetsko polje oko dugog ravnog vodiča
Električna struja koja prolazi kroz vodič stvara magnetsko polje oko tog vodiča, kojemu je iznos: $$B=\mu_0\,\mu_r\frac{I}{2\,\pi\,r}$$

• $\mu_0$ - permeabilnost vakuuma.
• $\mu_r$ - permeabilnost sredstva.

Magnetsko polje na jednakim udaljenostima od vodiča, $r$, ima jednak iznos, zbog čega su magnetske silnice koncentrične kružnice u ravnini koja je okomita na vodič.

Pravilo desne ruke (za ravni vodič)
Ako palac desne ruke usmjerimo u smjeru struje, savijeni prsti pokazat će smjer silnica magnetskog polja oko vodiča.
Primjer: struja u okomitom smjeru izlazi iz ravnine crtanja.

Primjer: struja u okomitom smjeru ulazi u ravninu crtanja.

Magnetsko polje oko vrlo dugog i tankog vodiča

1. Pravilom desne ruke odredimo smjer obilaska silnice (plava strelica na slici).
2. Označimo točku na silnici u kojoj želimo odrediti magnetsko polje (točka T na slici).
3. U točki T povučemo tangentu na silnicu (smjer vektora magnetskog polja).
4. U točki T nacrtamo vektor magnetskog polja, $\vec{B}$ (orijentacija određena smjerom obilaska silnice, odnosno plavom strelicom na slici).
5. Iznos magnetskog polja u točki T jednak je: $B=\mu_0\,\mu_r\large\frac{I}{2\,\pi\,r}$

Pokrenite video kako biste vidjeli promjenu smjera i orijentacje magnetskog polja u pojedinim točkama jedne silnice. Iznos magnetskog polja ne mijenja se.

Oba vodiča u točki T stvaraju vlastito magnetsko polje.

Primjenom pravila desne ruke zaključujemo da je orijentacija oba polja jednaka. Zbog toga je i rezultantno polje $\vec{B}$ orijentirano prema dolje.
Točan odgovor je C.

Teorijske osnove

Magnet u svojoj okolini stvara magnetsko polje. Postavimo li u njegovu okolinu drugi magnet, na njega će magnetsko polje prvog magneta djelovati silom. Magnetsko polje označujemo s $\vec{B}.$

Magnetsko polje zorno prikazujemo linijama sile ili magnetskim silnicama. Magnetske silnice su zamišljene linije koje nemaju početak i kraj, nego se zatvaraju same u sebe. Kažemo da su magnetske silnice zatvorene linije (nemaju početak ni kraj), što je posljedica činjenice da magnetski monopoli (magneti koji bi imali samo sjeverni ili samo južni pol), koji bi imali ulogu izvora magnetskih silnica, ne postoje. (Prisjetite se analogije sa silnicama električnog polja.)

Na slici je prikazano kako izgledaju magnetske silnice ravnog magneta. Čini se da linije sile imaju početak u sjevernom polu, a završetak u južnom polu magneta. Međutim to je samo privid. Magnetske silnice prolaze i kroz magnet pa se ipak radi o zatvorenim linijama.

Magnetsko polje i silnice

Pomoću silnica možemo odrediti smjer i orijentaciju magnetskog polje u nekoj točki silnice.

1. Smjer magnetskog polja u nekoj točki jednak je tangenti na silnicu u toj točki.
2. Orijentacija magnetskog polja u toj je točki jednaka orijentaciji sjevernog pola magnetske igle smještene u tu točku.

Iznos magnetskog polja možemo procijeniti prema gustoći silnica. Na mjestima gdje je gustoća silnica veća, veći je i iznos magnetskog polja. Uzmimo kao primjer ravni magnet. Najveća gustoća silnica je unutar magneta pa je magnetsko polje unutar magneta najveće.
Točan izraz za iznost magnetskog polja ovisi o obliku trajnog magneta ili o obliku vodiča kojim prolazi struja jer električna struja stvara magnetsko polje.

Magnetsko polje je homogeno ako su magnetske silnice paralelne i jednako udaljene jedna od druge. U bilo kojoj točki homogeno magnetsko polje ima jednak iznos, smjer i orijentaciju.

Magnetski tok

U mehanici fluida definirali smo tok fluida (protok): $$Q=v\cdot S$$ Iako kod magnetskog polja silnice ne teku, možemo definirati tok magnetskog polja ili magnetski tok $\mathit{\Phi}$.
Magnetski tok jednak je broju magnetskih silnica koje prolaze kroz neko područje. Ako magnetske silnice prolaze kroz neku zamišljenu plohu površine $S$, možemo zaključiti da on ovisi o iznosu magnetskog polja $B$ i površini plohe.
Ako je površina plohe konstantna, magnetski tok će biti proporcionalan iznosu magnetskog polja, jer će kroz plohu prolaziti više silnica. Ako je iznos magnetskog polja konstantan, magnetski tok će biti proporcionalan površini plohe, jer će kroz veću plohu prolaziti više silnica: $$\varPhi\propto B\;\;\text{i}\;\; \varPhi\propto S.$$ Iz ova dva izraza možemo zaključiti da općenito vrijedi: $$\varPhi=B\,S.$$ U ovom primjeru silnice prolaze okomito kroz plohu.

Ako magnetsko polje nije okomito na plohu, moramo odrediti komponentu magnetskog polja koja je okomita na plohu.

Orijentacija vektora magnetskog toka je stvar dogovora:

1. Nacrtajmo vektor normale (okomica na plohu, crno obojen vektor na slici).
2. Ako je magnetski tok usmjeren kao i vektor normale (strelica prema gore na slici), kažemo da je predznak pozitivan (plavo obojene silnice).
3. Ako je magnetski tok usmjeren suprotno vektoru normale (strlica prema dolje na slici), kažemo da je predznak negativan (zeleno obojene silnice).

Magnetski tok mjeri se u veberima: $$\text{Wb = T}\cdot \text{m}^2$$

1. primjer

Kružna ploha paralelna je silnicima pa kroz nju ne prolazi niti jedna silnica.
Magnetski tok jednak je nuli: $\mathit{\Phi}=0.$

2. primjer

Kružna ploha okomita je na silnice pa kroz nju prolazi šest silnica.
Magnetski tok je maksimalan: $\mathit{\Phi}\propto B.$

3. primjer

Kružna ploha zatvara kut manji od $90^\text{o}$ u odnosu na silnice pa kroz nju prolaze četiri silnice.
Magnetski tok je manji nego u 2. primjeru.

Razlika magnetskih tokova između dva trenutka bit će jednaka nuli samo ako su magnetski tokovi u tim trenucima jednaki: $$\varPhi_\text{konacni}=\varPhi_\text{pocetni}\Rightarrow \varPhi_\text{konacni}-\varPhi_\text{pocetni}=0$$

Objašnjenje:

Teorijske osnove

Elastična potencijalna energija opruge, $E_\text{p}$ je energija pohranjena u elastičnoj opruzi kada je ona rastegnuta ili stisnuta. Možemo ju prikazati kao: $$E_\text{p}=\frac{1}{2}\,k\,x^2$$

• $k$ - konstanta elastičnosti opruge (jedinica: N/m)
• $x$ - produljenje ili stisnuće opruge u odnosu na ravnotežni položaj (jedinica: m)

Maksimalna elastična potencijalna energija koju tijelo koje titra ima u amplitudnom položaju ($x=A$). Amplituda titranja, $A$ je najveća udaljenost tijela koje titra od ravnotežnog položaja. $$E_\text{p}=\frac{1}{2}\,k\,A^2$$

Rješenje

Iz izraza za maksimalnu elastičnu potencijalnu energiju: $$E_\text{p,max}=\frac{1}{2}\,k\,A^2$$ zaključujemo: Ako se amplituda titranja $A$ poveća 2 puta, maksimalna elastična potencijalna energija poveća se: $$A^2=2^2=4$$ Točan odgovor je D.

Teorijske osnove

Kako se reflektira val na čvrstom, a kako na slobodnom kraju užeta?
Pokrenite video.

1. Refleksijom na čvrstom kraju užeta (kraj užeta je učvršćen), brijeg se reflektira u dol, a dol u brijeg.
2. Refleksijom na slobodnom kraju užeta (kraj užeta nije učvršćen), dol se reflektira u dol, a brijeg u brijeg.
3. U oba slučaja amplituda se ne mijenja.

Prema zadatku drugi kraj užeta je slobodan pa će se brijeg reflektirati kao brijeg, dok će amplituda ostati nepromijenjena.
Točan odgovor je D.

Teorijske osnove

Intenzitet zvuka, (oznaka$I$) jednak je snazi zvučnog vala, (oznaka $P$) koja prolazi kroz jediničnu površinu, (oznaka $S$) okomitu na smjer širenja vala. $$I=\frac{P}{S}$$ Mjerna jedinica za intenzitet zvuka je vat po kvadratnom metru $\text{W}/\text{m}^2$.
Kroz površinu $S$ zapravo prolazi energija.
Fizičari su se dogovorili da intenzitet zvuka definiraju kao trenutni tok energije u jedinici vremena po jedinici površine. $$I=\frac{E}{S\,t}$$ "Prolaz snage" je opis brzine kojom se energija prenosi kroz površinu.
To slijedi iz značenja snage u fizici: $$P=\frac{E}{t}$$

Točkasti izvor zvuka emitira sferne valove koji se šire jednoliko u svim smjerovima, dok se energija raspoređuje po površini sfere.
Površina sfere: $$S=4\,r^2\pi$$ Izraz za intezitet $$I=\frac{P}{S}$$ postaje jednak $$I=\frac{P}{4\,r^2\pi}$$ Za rješenje zadatka bitno je uočiti da je intenzitet zvuka obrnuto razmjeran kvadratu udaljenosti od izvora zvuka. $$I\propto \frac{1}{r^2}$$ Ovo je zakon obrnutog kvadrata.
Napomena:
Intenzitet zvuka $$I=\frac{P}{S}$$ i zakon obrnutog kvadrata vrijede za bilo koje valove. Jedino graf B odgovara zakonu obrnutog kvadrata.

Teorijske osnove

Kad koherentni valovi (valovi jednake frekvencije i stalne fazne razlike) prolaze kroz dvije pukotine, dolazi do interferencije. Interferencijom valova dolazi do njihovog pojačanja ili slabljenja. Na zastoru se opažaju svjetle i tamne pruge interferencije.
Do maksimalnog pojačavanja (svjetle pruge) dolazi ako je razlika faza: $$\Delta \varphi=2\,k\,\pi$$ $$k=0,\,1,\,2,\,3,\,\cdot \cdot \cdot$$ Do maksimalnog slabljenja (tamne pruge) dolazi ako je fazna razlika: $$\Delta \varphi=\left(2\,k+1\right)\,\pi$$

Za tamne pruge vrijedi: $$\Delta \varphi=\left(2\,k+1\right)\,\pi$$ $$k=0,\,1,\,2,\,3,\,\cdot \cdot \cdot$$ Faznu razliku za koju se na zastoru opaža prvi minimum (prva tamna pruga) dobijemo ako za $k$ uzmemo najmanju vrijednost: $$k=0$$ $$\Delta \varphi=\pi$$ Točan odgovor je C

Teorijske osnove

Frekvencije radiovalova: od nekoliko Hz do nekoliko THz

Točan odgovor: A

Einsteinova jednadžba fotoefekta: $$E_\text{k}​=hf−W$$

• $E_\text{k}$ - maksimalna kinetička energija fotoelektrona
• $h$ - Planckova konstanta
• $f$ - frekvencija upadnog zračenja
• $W$ - izlazni rad metala

Pogledajmo $E_\text{k},\,f$ graf

Na metal A pada zračenje frekvencije: $$f < f_\text{g,A}$$ Fotoefekt se ne opaža.

Na metal A pada zračenje frekvencije: $$f = f_\text{g,A}$$ Fotoefekt se počinje opažati, ali kinetička energija fotoelektrona jednaka je nuli: $$E_\text{k}=0$$

Na metal A pada zračenje frekvencije: $$f > f_\text{g,A}$$ Fotoefekt se opaža i kinetička energija fotoelektrona se povećava: $$E_\text{k} > 0$$

Frekvenciju pri kojoj se fotoefekt počinje opažati nazivamo granična frekvencija ili prag fotoefekta.
U Einsteinovu jednadžbu: $E_\text{k}​=hf−W$ uvrstimo $f = f_\text{g,A}$ i $E_\text{k}=0$:
$$E_\text{k}​=h\,f_\text{g,A}−W_\text{A}$$ $$0​=h\,f_\text{g,A}−W_\text{A}$$ $$W_\text{A}=h\,f_\text{g,A}$$ Na jednak način dobijemo izlazni rad i za metal B: $$W_\text{B}=h\,f_\text{g,B}$$ Iz grafa je widljivo da je: $$f_\text{g,B} > f_\text{g,A}$$ Prema tome, $$W_\text{B} > W_\text{A}$$

Točan odgovor: C

Kad se čestica naboja $q$ ubrza naponom $U$ dobije kinetičku energiju: $$E_\text{k}​=q\,U$$ Elektron i proton imaju po iznosu jednake naboje: $$\left |q\right |=e$$ Zbog toga su im i kinetičke energije jednake: $$E_\text{k,e}​=e\,U$$ $$E_\text{k,p}​=e\,U$$ Osim ovoga, potrebno je još koristiti i de Broglieovu valnu duljinu: $$\lambda=\frac{h}{p}$$

$$\lambda=\frac{h}{p}$$ $$E_\text{k}=\frac{m\,v^2}{2}$$ $$E_\text{k}=\frac{m^2\,v^2}{2\,m}$$ $$E_\text{k}=\frac{p^2}{2\,m}$$ $$p=\sqrt{2\,m\,E_\text{k}}$$ $$\lambda=\frac{h}{p}$$ $$\lambda=\frac{h}{\sqrt{2\,m\,E_\text{k}}}$$ Elektron i proton imaju jednake kinetičke energije pa zaključujemo: $$\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{m}}$$ Masa protona je oko 1836 puta veća od mase elektrona: $$m_\text{p} > m_\text{e}$$ Prema tome, De Broglieva valna duljina elektrona je veća od valne duljine protona: $$\lambda_\text{e} > \lambda_\text{p}$$ Točan odgovor: C

Eksperimenti su pokazali:

• Atom vodika ne zrači kontinuirani spektar.
• U spektru vodikovog atoma pojavljuju se samo neke valne duljine (spektar je diskretan).
• To znači da energija elektrona može imati samo određene (diskretne) vrijednosti.

Između ostalog, Bohrov model atoma je objasnio linijski spektar atoma vodika.
Točan odgovor: A

Koje se gorivo koristi u fisijskim elektranama?

Uranij
Točan odgovor: C

Vlastito vrijeme u nekom sustavu je vrijeme koje se mjeri satom koji miruje u odnosu na taj sustav (sat koji putuje zajedno sa sustavom).

Vlastito vrijeme mjeri se satom u istraživačkoj letjelici.
Točan odgovor: D

Carnotov stroj je idealni toplinski stroj koji radi između dva spremnika:

• toplijeg spremnika pri temperaturi $T_1$
• hladnijeg spremnika pri temperaturi $T_2$

Njegova maksimalna (idealna) korisnost iznosi: $$\eta=1-\frac{T_2}{T_1}$$ Temperature su u kelvinima.
Općenito, korisnost je omjer korisnog rada, $W$ i primljene topline, $Q_1$: $$\eta=\frac{W}{Q_1}$$

$$T_1=400\,K$$ $$T_2=300\,K$$ $$\eta=1-\frac{T_2}{T_1}$$ $$\eta=1-\frac{300}{400}$$ $$\eta=1-0,75\,K=0,25$$ ili $$\eta=25\,\%$$ Točan odgovor: ovdje napiši

Najveći napon na krajevima vodiča: $$u_0=i_0\,R$$ Struju pročitajte iz jednadžbe: $$i = 2\,\text{A}\, \text{sin}\,(314\, \text{s}^{-1}\,t)$$

Jednadžba izmjenične struje: $$i = i_0\,\text{sin}\,(\omega\,t)$$ Usporedbom sa zadanom jednadžbom vidimo da je maksimalna struja: $$i_0=2\,\text{A}$$ Maksimalni napon: $$u_0=i_0\,R=2\cdot 100$$ $$u_0=200\,\text{V}$$

Odredite sile koje djeluju na uteg mase $m_1$ i uteg mase $m_2$.
Primijenite drugi Newtonov zakon.

Uteg mase $m_1$ giba se prema dolje akceleracijom $2\,\text{m}/\text{s}^2$. Uteg mase $m_2$ giba se prema gore jednakom akceleracijom.
Napišimo jednadžbe gibanja: $$m_1\,g-N=m_1\,a$$ $$N-m_2\,g=m_2\,a\qquad N\, \text{je napetost užeta.}$$ Zbrojimo te jednadžbe: $$m_1\,g-m_2\,g=m_1\,a+m_2\,a$$ $$m_1\,\left( g-a\right)=m_2\,\left( a+g\right)$$ $$\frac{m_1}{m_2}=\frac{a+g}{g-a}=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}$$ $$\frac{m_1}{m_2}=1,5$$

Volumni protok definiran je kao: $$Q=S\,v$$

• $Q$ - protok u $\text{m}^3/\text{s}$
• $S$ - površina poprečnog presjeka cijevi u $\text{m}^2$
• $v$ - brzina fluida u $\text{m}/\text{s}

$$v=\frac{Q}{S}$$ Dinamički tlak: $$p_\text{d}=\frac{1}{2}\rho\,v^2\qquad\rho - \text{gustoća fluida}$$

$$Q = 0,02\, \text{m}^3/\text{s}$$ Pretvorimo jedinicu površine poprečnog presjeka u međunarodni sustav: $$S=5\cdot 10^{-3}\,\text{m}^2$$ Izračunajmo brzinu fluida: $$v=\frac{Q}{S}=\frac{0,02}{5\cdot 10^{-3}}$$ $$v=4\,\text{m}/\text{s}$$ Izračunajmo dinamički tlak: $$p_\text{d}=\frac{1}{2}\rho\,v^2$$ $$p_\text{d}=\frac{1}{2}\cdot 1000\cdot 4^2$$ $$p_\text{d}=8000\,\text{Pa}$$

Tikvica je zatvorena pa je volumen pkina stalan: $$\frac{p}{T}=\text{konst.}$$ ili $$\frac{p_1}{T_1}=\frac{p_2}{T_2}$$ Manometar mjeri razliku tlakova: $$\Delta p=p_\text{plin}-p_\text{atm}$$ $$p_\text{plin}=p_\text{atm}+\Delta p$$

$$p_\text{plin}=100\,\text{kPa}$$ $$T_1=273+20=293\,\text{K}$$ $$\Delta p_1=144\,\text{kPa}$$ $$p_1=100+144=244\,\text{kPa}$$ $$T_2=273+61=334\,\text{K}$$ $$\frac{p_1}{T_1}=\frac{p_2}{T_2}$$ $$p_2=p_1\frac{T_2}{T_1}$$ $$p_2=244\frac{334}{293}$$ $$p_2=278\,\text{kPa}$$

Jakost leće jednaka je recipročnoj vrijednosti žarišne daljine izražene u metrima: $$j=\frac{1}{f}$$

• $j$ - jakost u dioptrijama ($\text{m}^{-1}$)
• $f$ - žarišna daljina u metrima

Linearno povećanje leće jednako je omjeru visine slike i visine predmeta: $$m = \frac{h'}{h}=-\frac{b}{a}$$

• $a$ - udaljenost predmeta od leće
• $b$ - udaljenost slike od leće

Virtualna slika kod konvergentne leće:

• $a \lt f $
• slika je uspravna
• $m>0\qquad \text{povećanje je pozitivno}$

Slika je uvećana 40 %: $$m=1,4$$ $$m=-\frac{b}{a}$$ $$b=-1,4\,a$$ U jednadžbu leće: $$\frac{1}{f}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$$ uvrstimo $$b=-1,4\,a$$ $$\frac{1}{f}=j$$ $$j=2,5\, \text{m}^{-1}$$ $$j=\frac{1}{a}-\frac{1}{1,4\,a}$$ Iz ove jednadžbe izračunamo $a$:
$a=11,4\,\text{cm}$

Mehanička energija nije očuvana zbog trenja. U početku je ukupna mehanička energija: $$E_\text{uk,meh}=E_\text{pot,poč}+E_\text{kin,poč}$$ Tijelo u početku miruje pa je njegova kinetička energija: $$E_\text{kin,poč}=0$$ Početna potencijalna energija je: $$E_\text{pot,poč}=m\,g\,h$$ Konačna mehanička energija jednaka je nuli jer se tijelo zaustavi na horizontalnoj podlozi: $$E_\text{kin,kon}=0$$ $$E_\text{pot,kon}=0$$ Prema tome, ukupna početna mehanička energija pretvori se u rad sile trenja: $$E_\text{uk,meh}=W_\text{t,k}+W_\text{t,hp}$$

Odredimo duljinu kosine: $$\ell=\frac{h}{\text{sin}\,\alpha}$$ Sila trenja na kosini: $$F_\text{t,k}=\mu\,m\,g\,\text{cos}\,\alpha$$ Rad sile trenja na kosini: $$W_\text{t,k}=F_\text{t,k}\cdot \ell$$ $$W_\text{t,k}=\mu\,m\,g\,\text{cos}\,\alpha\cdot \frac{h}{\text{sin}\,\alpha}$$ $$W_\text{t,k}=1,07\,m\,g$$ Iz jednadžbe: $$E_\text{uk,meh}=W_\text{t,k}+W_\text{t,hp}$$ odredimo rad sile trenja na horizontalnoj podlozi: $$W_\text{t,hp}=E_\text{uk,meh}-W_\text{t,k}$$ $$W_\text{t,hp}=m\,g\,h - 1,07\,m\,g$$ $$W_\text{t,hp}=m\,g\left(h-1,07\right)$$ $$W_\text{t,hp}=m\,g\left(5-1,07\right)$$ $$W_\text{t,hp}=3,93\,m\,g\qquad{\left(1\right)}$$ Rad sile trenja na horizontalnoj podlozi prikazujemo kao: $$W_\text{t,hp}=F_\text{t,hp}\cdot s$$ $$F_\text{t,hp}=\mu\,m\,g$$ $$W_\text{t,hp}=\mu\,m\,g\,s\qquad{\left(2\right)}$$ Izjednačimo desne strane jednadžbi (1) i (2): $$3,93\,m\,g=\mu\,m\,g\,s$$ Tražena udaljenost je: $$s=\frac{3,93\,m\,g}{\mu\,m\,g}$$ $$s=39,3\,\text{m}$$

Sile koje djeluju na naboj $q_\text{1}$:

Oznake:

• $\vec{N}-\text{Napetost niti}.$
• $\vec{F_\text{E}}-\text{Sila kojom električno polje djeluje na naboj}\,q_1$.
• $\vec{F_\text{C}}-\text{Coulobova sila kojom naboj}\,q_2\,\text{djeluje na}\,q_1$.
• $\vec{F_\text{g}}-\text{Sila teža koja djeluje na naboj}\,q_1\,\text{kojemu je masa}\,m$.
• $r-\text{Udaljenost između naboja}\,q_1\,\text{i}\,q_2$.

Naboj $q_1$ je u ravnoteži, što znači da je zbroj sila koje djeluju prema gore jednak zbroju sila koje djeluju prema dolje: $$\vec{N}+\vec{F_\text{C}}=\vec{F_\text{E}}+\vec{F_\text{g}}$$ Odredimo iznos Coulombove silu: $$F_\text{C}=F_\text{E}+F_\text{g}-N$$ $$F_\text{C}=3,02\cdot 10^{-5}\,\text{N}\quad{\left(1\right)}$$ Coulombova sila kojom naboj $q_2$ djeluje na naboj $q_1$ (Coulombov zakon): $$F_\text{C}=k\,\frac{q_1\,q_2}{r^2}\quad{\left(2\right)}$$ Izjednačimo desne strane jednadžbi (1) i (2): $$F_\text{C}=k\,\frac{q_1\,q_2}{r^2}=3,02\cdot 10^{-5}\,\text{N}$$ Odredimo udaljenost između naboja $q_1$ i $q_2$: $$r=\sqrt{\frac{k\,q_1\,q_2}{3,02\cdot 10^{-5}}}=0,27\, \text{m}$$

Sila između dva paralelna, tanka i vrlo duga vodiča, udaljena $r$ jedan od drugog, kojima prolaze struje $I_1$ i $I_2$, koja se nalaze u vakuumu, jednaka je: $$F=\frac{\mu_0\,\mu_\text{r}}{2\,\pi}\cdot \frac{I_1\,I_2\,\ell}{r}$$

• $\mu_0=4\,\pi \cdot 10^{-7}\,\text{T}\,\text{m}/\text{A}-$ permeabilnost vakuuma/zraka.
• $\mu_\text{r}-$ permeabilnost sredstva u kojemu se vodiči nalaze.
• $\ell-$ dio duljine vodiča koji međusobno djeluju silom (u zadatku je 1 m).

Konstanu možemo pojednostavniti: $$\frac{\mu_0\,\mu_\text{r}}{2\,\pi}=\mu_\text{r}\,\frac{4\,\pi \cdot 10^{-7}}{2\,\pi}=\mu_\text{r}\cdot 2\cdot 10^{-7}\,\text{T}\,\text{m}/\text{A}$$ Silu možemo zapisati kao: $$F=\mu_\text{r}\cdot 2\cdot 10^{-7}\,\frac{I_1\,I_2\,\ell}{r}$$ Ako su struje u istom smjeru, vodiči se privlače. Ako su struje u suprotnom smjeru, vodiči se odbijaju.

Zadano je:

• $I_1 = 2\,\text{A}$
• $I_2 = 3\,\text{A}$
• $I_3 = 3\,\text{A}$
• $\ell = 1\,\text{m}$

Kako odrediti relativnu permeabilnost? Pomoću zadanog magnetskog polja struje $I_2$: $$B_2=\frac{\mu_0\,\mu_\text{r}}{2\,\pi}\cdot \frac{I_2}{d}=\mu_\text{r}\cdot 2\cdot 10^{-7}\cdot\frac{I_2}{d}$$ $$B_2=\mu_\text{r}\cdot 2\cdot 10^{-7}\cdot\frac{3}{0,05}=\mu_\text{r}\cdot 1,2\cdot10^{-5}$$ $$\mu_\text{r}=\frac{B_2}{1,2\cdot10^{-5}}=\frac{6\cdot 10^{-6}}{1,2\cdot10^{-5}}=5\cdot 10^{-1}$$ $$\mu_\text{r}=0,5$$ Neuobičajena vrijednost za relativnu permeabilnost, Postoje materijali koje nazivamo dijamagnetici i kojima je relativna permeabilnost tek malo manja od jedan, npr. za Bizmut je 0,999834, za vodu 0,999 991, a za supravodič nula.
Postoje i metamaterijali kod kojih je moguće i $\mu_\text{r}=0,5$. Metamaterijali ne postoje u prirodi, nego samo u laboratorijama, gdje se istražuju za primjenu u optici, telekomunikaciji, računalima, medicini itd.
Koliko je meni poznato, eksperiment s vodičima koji su omotani metamaterijalima nikada nije izveden.
Ovako shvaćen zadatak gubi fizikalni smisao i prelazi u matematiku. Uvrstiš relativnu permeabilnost, ma kolika ona bila, u formulu i sve matematički štima. Koga briga je li to ima fizikalnog smisla. Takve zadatke na maturi ne bi se trebalo zadavati.
Nastavimo dalje sa zadatkom. Sila kojom struja $I_1$ djeluje na struju $I_3$: $$F_{13}=\mu_\text{r}\cdot 2\cdot 10^{-7}\,\frac{I_1\,I_3\,\ell}{r}=0,5\cdot 2\cdot 10^{-7}\,\frac{2\cdot 3\cdot 1}{2\cdot 0,05}\text{N}$$ Struje su istoga smjera pa je sila privlačna (djeluje na $I_3$ prema lijevo). $$F_{13}=6\cdot 10^{-6}\,\text{N}$$ Sila kojom struja $I_2$ djeluje na struju $I_3$: $$F_{23}=\mu_\text{r}\cdot 2\cdot 10^{-7}\,\frac{I_2\,I_3\,\ell}{r}=0,5\cdot 2\cdot 10^{-7}\,\frac{3\cdot 3\cdot 1}{0,05}\text{N}\quad{\left(\ell=1\,\text{m};r=d\right)}$$ Struje su suprotnoga smjera pa je sila odbojna (djeluje na $I_3$ prema desno). $$F_{23}=1,8\cdot 10^{-5}\,\text{N}$$ Rezultantna sila: $$F=F_{23}-F_{13}=1,8\cdot 10^{-5}-6\cdot 10^{-6}\, \text{N}$$ $$F=1,2\cdot 10^{-5}\,\text{N}$$

Napomena

U zadatku nije naznačeno u kojem se sredstvu vodiči nalaze. U tom se slučaju standardno uzima zrak ili vakuum pa je $\mu_\text{r}=1$. U izrazima za sile potrebno je, umjesto 0,5, za relativnu permeabilnost uzeti 1. To znači da dobivene vrijednosti trebamo pomnožiti s dva. $$F_{13}=2\cdot 0,6\cdot 10^{-5}\,\text{N}$$ $$F_{13}=1,2\cdot 10^{-5}\,\text{N}$$ $$F_{23}=2\cdot 1,8\cdot 10^{-5}\,\text{N}$$ $$F_{23}=3,6\cdot 10^{-5}\,\text{N}$$ Rezultantna sila: $$F=F_{23}-F_{13}=2,4\cdot 10^{-5}\, \text{N}$$ NCVVO je priznavao rezultat: $$F=1,2\cdot 10^{-5}\,\text{N}$$ Ne znam jesu li priznavali i ovaj drugi. Trebali su priznati najmanje tri boda. Ako je u prvom koraku napravljena pogreška ($\mu_\text{r}=1$), tu se oduzima jedan bod. Ako su ostali koraci bili točni, osim rezultata, trebalo je priznati tri boda jer su pogrešni rezultati posljedica pogreške napravljene u prvom koraku pa se bodovi ne oduzimaju.

Harmonijsko titranje uzrokovano je harmonijskom silom. Ta je sila u svakom trenutku proporcionalna elongaciji i suprotne je orijentacije. Tu silu prikazujemo kao: $$F = - k\,y$$ za titranje duž osi $y$, ili $$F = - k\,x$$ za titranje duž osi $x$.
Predznak minus ukazuje da su orijentacija i elongacija suprotno orijentirane. Harmonijska konstanta označena je s $k$.
Veličine pomoću kojih opisujemo titranje su:

• $T-$period
• $f-$ frekvencija
• $y;x-$ elongacija
• $A;y_0;x_0-$ amplituda

Pri titranju događaju se stalne pretvorbe elastične potencijalne energije u kinetičku i obrnuto.
Elastična potencijalna energija: $$E_\text{p}=\frac{1}{2}\,k\,y^{2}$$ Kinetička energija: $$E_\text{k}=\frac{1}{2}\,m\,v^2$$

• $m-$ masa tijela koje titra
• $v-$ brzina tijela koje titra
• $y-$ elongacija

Ukupna energija harmonijskog titranja jednaka je zbroju elastične potencijalne energije i kinetičke energije. $$E=E_\text{p}+E_\text{k}$$

Ukupna energija harmonijskog titranja: $$E=E_\text{p}+E_\text{k}$$ $$E=\frac{1}{2}\,k\,y^2+\frac{1}{2}\,m\,v^2$$ U ravnotežnom položaju elongacija je jednaka nuli, $y=0$, pa je potencijalna energija također jednaka nuli. Ukupna energija jednaka je kinetičkoj energiji, koja je u ravnotežnom položaju najveća: $$E=0+\frac{1}{2}\,m\,v^2_0$$ U amplitudnom položaju tijelo za trenutak zastane, $v=0$ pa mu je kinetička energija jednaka nuli. U tom položaju ukupna energija jednaka je potencijalnoj energiji, koja je tada najveća: $$E=\frac{1}{2}\,k\,A^2+0$$ Konstanta elastičnosti i amplituda zadane su u zadatku pa ukupnu energiju možemo izračunati: $$E=\frac{1}{2}\cdot 12,5\cdot 0,25^2$$ $$E=0,3906\,\text{J}$$ Iz izraza za harmonijsku silu odredimo udaljenost $y$: $$y=\frac {F}{k}$$ $$y=\frac {0,625}{12,5}$$ $$y= 0,05\,\text{m}$$ Potencijalna energija pri elongaciji $y$ jednaka je: $$E_\text{p}=\,\frac{1}{2}\,k\,y^2$$ $$E_\text{p}=\,\frac{1}{2}\,12,5\cdot 0,05^2$$ $$E_\text{p}=0,015625\,\text{J}$$ Izračunali smo ukupnu i potencijalnu energiju pa lako možemo izračunati i traženu kinetičku energiju: $$E_\text{k}=E-E_\text{p}$$ $$E_\text{k}=0,3906-0,015625\,\text{J}$$ $$E_\text{k}=0,375\,\text{J}$$

Vrijeme poluraspada, $T_{1/2}$ je vrijeme nakon kojega se raspadne polovina početnog broja jezgara.
Ako neki radioaktivni uzorak u početnom trenutku sadrži $N_{0}$ jezgara, tijekom vremena taj će se broj smanjivati. Nakon vremena $T_{1/2}$ preostat će $N_{0}/2$ jezgara, nakon još jednog vremena poluraspada preostat će ih $N_{0}/4$, itd.
Broj neraspadnutih jezgara $N$ smanjuje se eksponencijalno tijekom vremena $t$: $$N=N_{0}\,e^{\large{\mathbf{−}λt}}$$ Ovaj je izraz matematički zapis zakona radioaktivnog raspada. Konstanta $\lambda$ zove se konstanta radioaktivnog raspada: $$\lambda=\frac{\textrm{ln}\,2}{T_{1/2}}$$ SI jedinica za aktivnost zove se bekerel. Znak za bekerel je Bq. Radioaktivni uzorak ima aktivnost 1 Bq ako se u jednoj sekundi raspadne jedna jezgra.

Aktivnost radioaktivnog uzorka, $A$, jednaka je broju raspada u jedinici vremena: $$A=\frac{\Delta N}{\Delta t}$$ Aktivnost u početnom trenutku je: $$A_{0}=\lambda\,N_{0}$$ Aktivnost se tijekom vremena smanjuje eksponencijalno: $$A=A_{0}\,e^{\large{\mathbf{−}λt}}$$

Početni broj jezgara jednak je broju jezgara u jednom molu. Taj je broj jednak Avogadrovoj konstanti: $$N_0=6,02\cdot 10^{23}$$ Konstanta radioaktivnog raspada za Na je: $$\lambda=\frac{\textrm{ln}\,2}{T_{1/2}}$$ $$\lambda=\frac{0,693147}{60}$$ $$\lambda=0,01155\,\text{s}^{-1}$$ Početna aktivnost: $$A_{0}=\lambda\,N_{0}$$ $$A_{0}=0,01155\cdot 6,02\cdot 10^{23}$$ Aktivnost nakon 600 s: $$A=A_{0}\,e^{\large{\mathbf{−}λt}}$$ $$A=6,02\cdot 10^{23}\cdot e^{-0,01155\cdot 600}$$ $$A=6,8\cdot 10^{18}\,\text{Bq}$$