Jednadžba harmonijskog vala
Pretpostavimo da izvor vala harmonijski titra prema jednadžbi:
$$y=Asin\left ( \frac{2\pi }{T} t\right)$$
Sredstvom se širi poremećaj, energija, odnosno val, brzinom v.
Neka čestica sredstva, koja je udaljena za x od izvora vala, počet će titrati tek kad do nje stigne energija, odnosno val, od izvora, odnosno, nakon vremena:
$$t=\frac{x}{v}$$
Jednadžba titranja te čestice, prema tome, bit će:
$$y=Asin\left [ \frac{2\pi }{T}\left ( t-\frac{x}{v} \right ) \right ]$$Ako za brzinu širenja vala uvrstimo:
$$v=\frac{\lambda }{T}$$i sredimo izraz u uglatoj zagradi, dobijemo:
$$y=Asin\left ( \frac{2\pi }{T}t-\frac{2\pi }{\lambda }x \right )$$
jednadžbu koju nazivamo jednadžbom vala ili valnom jednadžbom. Uz standardne oznake za kutnu frekvenciju:
$$\omega =\frac{2\pi }{T}$$
i valni broj:
$$ k =\frac{2\pi }{\lambda} $$
možemo ju zapisati u kraćem obliku:
$$y=Asin\left ( \omega t-kx \right )$$
Izraz u zagradi:
$$\varphi =\frac{2\pi }{T}t-\frac{2\pi }{\lambda }x$$
odnosno:
$$\varphi =\omega t-kx$$
nazivamo fazom vala. Fazu zadajemo u radijanima.
Ova jednadžba daje elongaciju bilo koje čestice na osi x u bilo kojem trenutku, t. Zbog toga ju nije baš lako grafički prikazati. Zato će nam poslužiti sljedeći applet.
Applet
U gornjem lijevom kutu ispisuje se vrijeme u "sekundama". Za funkcioniranje appleta nije bitno jesu li to "prave" sekunde. Na os y nanosimo elongaciju, a na os x udaljenost točaka sredstva od izvora vala. Udaljenosti ne moraju biti u decimetrima, nego to mogu biti i neke druge jedinice. Izvor vala predstavljen je plavo obojanom točkom koja se nalazi u ishodištu koordinatnog sustava.